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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,教育部重点课题新教育子课题,在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践,温州市瓯海区三溪中学 张明,2.4.1,平面向量数量积的 物理背景及其含义,问题,1,：,如图所示，一物体在力,F,的作用下产生位移,S,，,（）力,F,所做的功,W,=,。,（）请同学们分析这个公式的特点：,W,（功）是,量，,F,（力）是,量，,S,（位移）是,量,是,。,F,S,问题：,你能用文字语言来表述功的计算公式吗,?,如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？,我们学过功的概念，即一个物体在力,F,的作用下产生位移,s,（如图）,F,S,力,F,所做的功,W,可用下式计算,W,=|,F,|,S,|cos,其中,是,F,与,S,的夹角,从力所做的功出发，我们引入向量,“数量积”,的概念。,已知两个非零向量,与,，它们的,夹角为,，我们把数量,|,|,|cos,叫做,与 的,数量积,（或,内积,），记作,=|,|,|cos,a,r,a,r,a,r,a,r,a,r,a,r,b,r,b,r,b,r,b,r,b,r,b,r,一、数量积的定义：,注意：向量的数量积是一个数量。,规定,:,零向量与任一向量的数量积为,0,。,记法“,ab”,中间的“,”,不可以省略，也不可以用“”代替。,活动二：探究数量积的概念,夹角 的范围,思考：,讨论并完成下表：,问题：,向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？,ab,=|,a,|,b,|cos,当,0,90时,ab,为正；,当90,180时,ab,为负。,当,=90,时,ab,为零。,一、问向量的数量积或内积为什么定义为？,定义是随便定义的吗？难道是定义起来很随便？还是随便起来不定义？,答：数学上的一个定义不会来自空中楼阁，而是有坚实的现实基础，比如这个定义就是物理中功的原型。在语文写作中，作者在构思一个人物形象时都可以在现实生活中找到原型。可以问你们的语文老师。比如钱钟书的,围城,里面的人物，贾平凹的,废都,里人物。,二、平面向量的数量积为什么取名数量积？积是什么意思？数量是什么意思？合起来是什么意思？,总结：,二、,1,、同学们还记得直线或线段在一个平面内的投影吗？它是什么？线段的长度有什么改变？,2,、在一个平面内一条线段在一条直线上的投影是怎样子的？线段的长度有什么改变？,3,、那向量在另一个向量上的投影是怎么回事？,答：线段只有大小没有方向，所以投影肯定是正的，但向量是即有大小又有方向，所以大小、方向都有投影。那如何表示方向的投影？所以向量的投影是可正可负的，请同学们看看向量投影的定义。,答：画一个平面和一条直线或线段，投影是条平面内的直线,或线段。,答：投影还是线段，长度,二、数量积的几何意义：,叫做向量 在 方向上,（或向量 在 方向上）的,投影,。,（,1,）投影的概念：,O,A,B,|b|cos,a,b,B,1,（,2,）数量积的几何意义：,等于,的长度,与,的乘积。,探究（二）：,平面向量数量积的运算性质,思考,1,：设,a,与,b,都是非零向量，若,a,b,，则,a,b,等于多少？,反之成立吗？,a,b a,b,0,思考,2,：当,a,与,b,同向时，,a,b,等于什么？当,a,与,b,反向时，,a,b,等于什么？特别地，,a,a,等于什么？,当,a,与,b,同向时，,a,b,a,b,；,当,a,与,b,反向时，,a,b,a,b,；,a,a,a,2,a,2,或,a,.,思考,3,：,a,b,与,a,b,的大小关系如何？为什么？,a,b,a,b,思考,4,：,a,b,与,b,a,是什么,关系？为什么？,思考,5,：对于实数,，,(,a,),b,有意义吗？它可以转化为哪些运算？,(,a,),b,(,a,b,),a,(,b,),其中，,是任意三个向量，,注：,探究：,我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？,五、数量积的运算律：,。,四、向量数量积的三种特殊情况或性质。,如果你觉得理解起来抽象，该怎办？,答：用两个具体的向量来代入一下，这两个具体向量可以取例,1,，再加画图来理解。,五、向量数量积的三条运算律哪几条可以利用定义来证明，很快的。哪一条用定义证明不行？同学们用定义证明是什么感觉？是不是觉得是天马行空找不到一个坚实的支撑点，空荡荡的？这就是抽象运算。,六、对于向量数量积的运算律，因为是实数满足交换律、结合律，加绝对值的性质，再根据定义，所以向量数量积也满足交换律、结合律。对于证明满足结合律比交换律要难许多。其实在证明结合律的时候取 ，具体值反而容易理解。,七、我们讲过世界是和谐的，虽然无奇不有，今天就是讲讲无奇不有。即三个向量的内积不满足结合律，即,还有不满足消去律，即,。,总结：,并思考通过本题你有什么收获？,例题：,因为向量与实数一样满足交换律、结合律、分配律，所以在形式上一样，本质上不一样。比如还有向量的和平方公式、平方差公式。但有些东西是形式不一样，本质一样。比如论坛上有句话，你换了马甲我就不认识你了。,对于因为向量因有运算律，所以不必每一步都根据向量数量积的定义。,一种是教材代数解法，但如果一题多解，还有种几何解法。我们都涉及。但几何解法比较难。所以几何解法我们用来验证。可这两种解法可以比较优劣。代数解法不知道本质，几何解法可以看出事物的本质。代数解法是垂直但不知道为什么垂直，几何解法却可以知道垂直为什么是垂直。,对于例,3,总结：,练习：,1,若,a,=,0,，则对任一向量,b,，有,a,b,=,0,2,若,a,0,，则对任一非零向量,b,有,a,b,0,3,若,a,0,，,a,b,=,0,，则,b,=,0,4,若,a,b,=,0,，则,a,b,中至少有一个为,0,5,若,a,0,，,a,b,=,b,c,，则,a,=,c,6,若,a,b,=,a,c,则,b,c,当且仅当,a,=,0,时成立,7,对任意向量,a,有,练习：,作业：,
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