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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第,9,节离散型随机变量的均值与方差,最新考纲,1.,理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；,2.,能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题,第9节离散型随机变量的均值与方差最新考纲1.理解取有限个,知,识,梳,理,1.,离散型随机变量的均值与方差,若离散型随机变量,X,的分布列为,x,1,p,1,x,2,p,2,x,i,p,i,x,n,p,n,X,x,1,x,2,x,i,x,n,P,p,1,p,2,p,i,p,n,(1),均值,称,E,(,X,),_,为,随机变量,X,的均值,或,_,，,它反映了离散型随机变量取值,的,_,.,数学期望,平均水平,知 识 梳 理1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量,2.,均值与方差的性质,(,1),E,(,aX,b,),_,.,(,2),D,(,aX,b,),_,(,a,，,b,为常数,).,3.,两点分布与二项分布的均值、方差,(,1),若,X,服从两点分布，则,E,(,X,),_,，,D,(,X,),_,.,(,2),若,X,B,(,n,，,p,),，则,E,(,X,),_,，,D,(,X,),_,.,平均偏离程度,标准差,aE,(,X,),b,a,2,D,(,X,),p,p,(1,p,),np,np,(1,p,),2.均值与方差的性质平均偏离程度标准差aE(X)ba2D(,微点提醒,微点提醒,基,础,自,测,1.,判断下列结论正误,(,在括号内打,“”,或,“”,),(1),期望值就是算术平均数，与概率无关,.(,),(2),随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量,.(,),(3),随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小,.(,),(4),均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事,.(,),解析,均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故,(1)(4),均不正确,.,答案,(1),(2),(3),(4),基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”,2.,(,选修,2,3P68A1,改编,),已知,X,的分布列为,设,Y,2,X,3,，则,E,(,Y,),的值为,(,),答案,A,2.(选修23P68A1改编)已知X的分布列为设Y2X,3.,(,选修,2,3P68,练习,2,改编,),若随机变量,X,满足,P,(,X,c,),1,，其中,c,为常数，则,D,(,X,),的值为,_.,解析,P,(,X,c,),1,，,E,(,X,),c,1,c,，,D,(,X,),(,c,c,),2,1,0.,答案,0,3.(选修23P68练习2改编)若随机变量X满足P(Xc,4.,(2018,浙江卷,),设,0,p,1,，随机变量,的分布列是,则当,p,在,(0,，,1),内增大时,(,),A.,D,(,),减小,B.,D,(,),增大,C.,D,(,),先减小后增大,D.,D,(,),先增大后减小,答案,D,4.(2018浙江卷)设0p1，随机变量的分布列是则,5.,(2019,合肥检测,),甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量,X,，,Y,，其分布列分别为：,若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是,_.,X,0,1,2,3,P,0.4,0.3,0.2,0.1,Y,0,1,2,P,0.3,0.5,0.2,解析,E,(,X,),0,0.4,1,0.3,2,0.2,3,0.1,1.,E,(,Y,),0,0.3,1,0.5,2,0.2,0.9,，所以,E,(,Y,),E,(,X,),，故乙技术好,.,答案,乙,5.(2019合肥检测)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品,6.,(2017,全国,卷,),一批产品的二等品率为,0.02,，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取,100,次，,X,表示抽到的二等品件数，则,D,(,X,),_.,解析,有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中,p,0.02,，,n,100,，,则,D,(,X,),np,(1,p,),100,0.02,0.98,1.96.,答案,1.96,6.(2017全国卷)一批产品的二等品率为0.02，从这,考点一离散型随机变量的均值与方差,考点一离散型随机变量的均值与方差,(1),求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；,(2),设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量,(,单位：元,),，求,的分布列与数学期望,E,(,),，方差,D,(,).,解,(1),两人所付费用相同，相同的费用可能为,0,，,40,，,80,元，,(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；解(1)两人所付,(2),由题设甲、乙所付费用之和为,，,可能取值为,0,，,40,，,80,，,120,，,160,，则：,(2)由题设甲、乙所付费用之和为，可能取值为0，40，8,的分布列为,的分布列为,规律方法,(1),求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算,.,(2),注意,E,(,aX,b,),aE,(,X,),b,，,D,(,aX,b,),a,2,D,(,X,),的应用,.,规律方法(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变,解,(1),随机变量,X,的所有可能取值为,0,，,1,，,2,，,3,，,解(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，,所以，随机变量,X,的分布列为,(2),设,Y,表示第一辆车遇到红灯的个数，,Z,表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为,所以，随机变量X的分布列为(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个,考点二二项分布的均值与方差,【例,2,】,(2019,顺德一模,),某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过,w,立方米的部分按,4,元,/,立方米收费，超出,w,立方米的部分按,10,元,/,立方米收费，从该市随机调查了,100,位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列,.,考点二二项分布的均值与方差,(1),求,a,，,b,，,c,的值及居民月用水量在,2,2.5,内的频数；,(2),根据此次调查，为使,80%,以上居民月用水价格为,4,元,/,立方米，应将,w,定为多少？,(,精确到小数点后,2,位,),(3),若将频率视为概率，现从该市随机调查,3,名居民的月用水量，将月用水量不超过,2.5,立方米的人数记为,X,，求其分布列及均值,.,解,(1),前四组频数成等差数列，,设,a,0.2,d,，,b,0.2,2,d,，,c,0.2,3,d,，,0.50.2,(0.2,d,),2,0.2,2,d,0.2,3,d,0.1,3,1,，,解得,d,0.1,，,a,0.3,，,b,0.4,，,c,0.5.,(1)求a，b，c的值及居民月用水量在22.5内的频数；解,居民月用水量在,2,2.5,内的频率为,0.5,0.5,0.25.,居民月用水量在,2,2.5,内的频数为,0.25,100,25.,(2),由题图及,(1),可知，居民月用水量小于,2.5,的频率为,0.70.8,，,为使,80%,以上居民月用水价格为,4,元,/,立方米，,(3),将频率视为概率，设,A,(,单位：立方米,),代表居民月用水量，,可知,P,(,A,2.5),0.7,，,由题意，,X,B,(3,，,0.7),，,居民月用水量在22.5内的频率为0.50.50.25.,X,的分布列为,X,0,1,2,3,P,0.027,0.189,0.441,0.343,X,B,(3,，,0.7),，,E,(,X,),np,2.1.,X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.,规律方法,二项分布的均值与方差,.,(1),如果,B,(,n,，,p,),，则用公式,E,(,),np,；,D,(,),np,(1,p,),求解，可大大减少计算量,.,(2),有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用,E,(,a,b,),aE,(,),b,以及,E,(,),np,求出,E,(,a,b,),，同样还可求出,D,(,a,b,).,规律方法二项分布的均值与方差.,【训练,2,】,(2019,湘潭三模,),某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了,40,只统计质量，得到结果如表所示：,(1),若购进这批生蚝,500 kg,，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量,(,所得结果保留整数,),；,(2),以频率视为概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选,4,个，记质量在,5,，,25),间的生蚝的个数为,X,，求,X,的分布列及数学期望,.,质量,(g),5,，,15),15,，,25),25,，,35),35,，,45),45,，,55,数量,(,只,),6,10,12,8,4,【训练2】(2019湘潭三模)某饭店从某水产养殖厂购进一,解,(1),由表中的数据可以估算一只生蚝的质量为,所以购进,500 kg,生蚝，其数量为,500 00028.5,17 544(,只,).,由题意知,X,的可能取值为,0,，,1,，,2,，,3,，,4,，,解(1)由表中的数据可以估算一只生蚝的质量为所以购进500,X,的分布列为,X的分布列为,考点三均值与方差在决策问题中的应用,【例,3,】,某投资公司在,2019,年年初准备将,1 000,万元投资到,“,低碳,”,项目上，现有两个项目供选择：,考点三均值与方差在决策问题中的应用,解,若按,“,项目一,”,投资，设获利为,X,1,万元,.,则,X,1,的分布列为,若按,“,项目二,”,投资，设获利,X,2,万元,，则,X,2,的分布列为：,解若按“项目一”投资，设获利为X1万元.则X1的分布列为若,所以,E,(,X,1,),E,(,X,2,),，,D,(,X,1,),D,(,X,2,),，,这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥,.,综上所述，建议该投资公司选择项目一投资,.,所以E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，,规律方法,随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据,.,一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定,.,【训练,3,】,计划在某水库建一座至多安装,3,台发电机的水电站,.,过去,50,年的水文资料显示，水库年入流量,X,(,年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米,),都在,40,以上,.,其中，不足,80,的年份有,10,年，不低于,80,且不超过,120,的年份有,35,年，超过,120,的年份有,5,年,.,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立,.,(1),求未来,4,年中，至多有,1,年的年入流量超过,120,的概率；,规律方法随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反,(2),水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量,X,限制，并有如下关系：,若某台发电机运行，则该台发电机年利润为,5 000,万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损,800,万元,.,欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？,年入流量,X,40,X,120,发电机最多可运行台数,1,2,3,(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运,由二项分布，在未来,4,年中，至多有,1,年的年入流量超过,120,的概率为,(2),记水电站年总利润为,Y,(,单位：万元,).,安装,1,台发电机的情形,.,由于水库年入流量总大于,40,，故一台发电机运行的
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