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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第十三章 轴对称,13.4,课题学习 最短路径问题,人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）,第十三章 轴对称13.4 课题学习 最短路径问题人民教育出,前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，,本节将利用数学知识,继续探究数学中的最短路径问题,如图所示，从,A,地到,B,地有三条路可供选择，选走哪条路最近？你的理由是什么？,两点之间,线段最短,如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，选走哪条路最近？,(),两点在一条直线异侧,已知：如图，,A,，,B,在直线,L,的两侧，在,L,上求一点,P,，使得,PA+PB,最小。,P,连接,AB,线段,AB,与直线,L,的交点,P,，就是所求。,()两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在,思考？,为什么这样做就能得到最短距离呢？,根据：,两点之间线段最短,.,P,思考？根据：两点之间线段最短.P,如图，要在燃气管道,L,上修建一个泵站，分别向,A,、,B,两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？,P,所以泵站建在点,P,可使输气管线最短,应用,如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵,A,B,l,B,/,P,点,P,的位置即为所求,.,M,作法：,作点,B,关于直线,l,的对称点,B,/,.,连接,AB,/,交直线,l,于点,P.,(),两点在一条直线同侧,已知：如图,A,、,B,在直线,L,的同一侧，在,L,上求一点，使得,PA+PB,最小,.,为什么这样做就能得到最短距离呢？,MA+MB,PA+PB,即,MA+MB,PA+PB,三角形任意两边之和大于第三边,ABl B/P 点P的位置即为所求.M 作法：,问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区,A,、,B,提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从,A,、,B,到它的距离之和最短,练习,请你自己动手 试一试！,问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居,只有,A,、,C,、,B,在一直线上时，才能使,AC,+,BC,最小,作点,A,关于直线“街道”的对称点,A,，然后连接,A,B,，交“街道”于点,C,，则点,C,就是所求的点,只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小作点A,(),一点在两相交直线内部,已知：如图,A,是锐角,MON,内部任意一点，在,MON,的两边,OM,，,ON,上各取一点,B,，,C,，组成三角形，使三角形周长最小,.,B,C,D,E,分析：,当,AB,、,BC,和,AC,三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小,()一点在两相交直线内部BCDE分析：当AB、BC和AC三,(),一点在两相交直线内部,已知：如图,A,是锐角,MON,内部任意一点，在,MON,的两边,OM,，,ON,上各取一点,B,，,C,，组成三角形，使三角形周长最小,.,分别作点,A,关于,OM,，,ON,的对称点,A,，,A,；连接,A,，,A,，分别交,OM,，,ON,于点,B,、点,C,，则点,B,、点,C,即为所求,()一点在两相交直线内部分别作点A关于OM，ON的对称点A,如图，,A.B,两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥,MN,，桥造在何处才能使从,A,到,B,的路径,AMNB,最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,A,B,如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN,作法：,1.,将点,B,沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到,E,，,2.,连接,AE,交河对岸与点,M,则点,M,为建桥的位置，,MN,为所建的桥,。,证明：由平移的性质，得,BNEM,且,BN=EM,MN=CD,BD,CE,BD=CE,所以,A.B,两地的距,:,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在,CD,处，连接,AC.CD.DB.CE,则,AB,两地的距离为：,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在,ACE,中，,AC+CE,AE,AC+CE+MN,AE+MN,即,AC+CD+DB,AM+MN+BN,所以桥的位置建在,CD,处，,AB,两地的路程最短。,A,B,M,N,E,C,D,作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，ABM,2.,如图，,A,、,B,是两个蓄水池，都在河流,a,的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到,A,、,B,两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。,作法：,作点,B,关于直线,a,的对称点点,C,连接,AC,交直线,a,于点,D,，则点,D,为建,抽水站的位置。,A,B,a,2.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧,3.,某班举行晚会，桌子摆成两直条,(,如图中的,AO,，,BO),，,AO,桌面上摆满了桔子，,OB,桌面上摆满了糖果，坐在,C,处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？,作法：,1.,作点,C,关于直线,OA,的 对称点点,D,2.,作点,C,关于直线,OB,的对称点点,E,3,.,连接,DE,分别交直线,OA.OB,于点,M.N,，,则,CM+MN+CN,最短,A,O,B,C,3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO,证明：,在直线,OA,上另外任取一点,G,，连接,点,D,点,C,关于直线,OA,对称，,点,G.H,在,OA,上，,DG=CG,DM=CM,同理,NC=NE,，,HC=HE,CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE,CG+GH+HC=DG+GH+HE,DG+GH+HE,DE,（两点之间，线段最短），,即,CG+GH+HC,CM+CN+MN,即,CM+CN+MN,最短,A,O,B,.,.,E,D,M,N,G,H,AOB.EDMNGH,4.,如图：,C,为马厩，,D,为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。,作法：,1.,作点,C,关于直线,OA,的 对称点点,F,2.,作点,D,关于直线,OB,的对称点点,E,3,.,连接,EF,分别交直线,OA.OB,于点,G.H,，,则,CG+GH+DH,最短,F,A,O,B,D,C,E,G,H,4.如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，,证明：在直线,OA,上另外任取一点,G,，连接,点,F,点,C,关于直线,OA,对称，点,G.M,在,OA,上，,GF=GC,FM=CM,同理,HD=HE,，,ND=NE,CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,CG+GH+HD=FG+GH+HE,在四边形,EFGH,中，,FG+GH+HE,FE,（两点之间，线段最短），,即,CG+GH+HD,CM+MN+ND,即,CM+MN+ND,最短,F,A,O,B,D,C,E,M,N,G,H,FAOBD CEMNGH,A,B,A,/,B,/,P,Q,最短路线：,A P Q B,l,M,N,ABA/B/PQ最短路线：A P Q BlMN,巩固反馈：,1,、如图，张庄,A,、李庄,B,位于河沿的同侧，现要在,河沿,g,上修一提灌站,C,向张庄,A,、李庄,B,提水。当提,灌站修在河沿,g,的,C,处时，所用水管最短，为,3,千米。,已知,BC,的长为,2,千米，你能在图中找出张庄,A,的位,置吗？,g,.,提灌站,C,李庄,B,巩固反馈：g.提灌站C李庄B,2,、如图，小河边有两个村庄,A,B,要在河边建一自,来水厂向村庄,A,与村庄,B,供水。,(1),若要使厂部到,A,B,村庄的距离相等，则应选择在,哪建厂？,（,2,）若要使厂部到,A,B,村的水管最省料，应建在什,么地方？,A,村,B,村,2、如图，小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自A村B村,3,、如图，两条公路,OA,、,OB,相交，在两条公路的,中间有一个油库，设为点,P,。如在两条公路上各设,置一个加油站，请设计一个方案，把两个加油站设,在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，,再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短。,O,P,3、如图，两条公路OA、OB相交，在两条公路的OP,再见！,再见！,
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