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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,皖西学院 数理系 数学分析,*,3.,格 林 公 式,曲线积分与路线的无关性,2024/11/16,1,皖西学院 数理系 数学分析,3.格 林 公 式曲线积分与路线的无关性2023/10,一、格林公式,格林公式表达了在区域,D,上的二重积分与区域,D,的边界曲线,L,上的第二型曲线积分的关系,.,设,D,为平面区域,如果,D,内任一闭曲线所围成的部分都属于,D,则称,D,为平面单连通区域,否则称为复连通区域,.,复连通区域,单连通区域,D,D,2024/11/16,2,皖西学院 数理系 数学分析,一、格林公式格林公式表达了在区域D上的二重积分与区域D的边界,边界曲线正向的规定：,设区域,D,由边界曲线,L,围成，当沿边界行走时，区域,D,总在它的左边,.,D,D,外部边界曲线的正向为逆时针方向；,内部边界曲线的正向为顺时针方向。,2024/11/16,3,皖西学院 数理系 数学分析,边界曲线正向的规定：设区域D由边界曲线L围成，当沿边,格林公式,定理的证明：按照区域,D,的三种情形分别证明,.,2024/11/16,4,皖西学院 数理系 数学分析,格林公式定理的证明：按照区域D的三种情形分别证明.20,设,D,既是,X,-,型,又是,Y,-,型的区域,则,2024/11/16,5,皖西学院 数理系 数学分析,设 D 既是X-型,又是Y-型的区域,则2023/10,为方便记忆，,格林公式,可以写成下面的形式：,2024/11/16,6,皖西学院 数理系 数学分析,为方便记忆，格林公式可以写成下面的形式：2023/10/56,2024/11/16,7,皖西学院 数理系 数学分析,2023/10/57皖西学院 数理系 数学分析,解：,另解：利用格林公式,.,注意曲线的方向,2024/11/16,8,皖西学院 数理系 数学分析,解：另解：利用格林公式.注意曲线的方向2023/10/58皖,2024/11/16,9,皖西学院 数理系 数学分析,2023/10/59皖西学院 数理系 数学分析,推论,:,正向闭曲线,L,所围区域,D,的面积,2024/11/16,10,皖西学院 数理系 数学分析,推论:正向闭曲线L 所围区域D的面积2023/10/510,2024/11/16,11,皖西学院 数理系 数学分析,2023/10/511皖西学院 数理系 数学分析,另解：,2024/11/16,12,皖西学院 数理系 数学分析,另解：2023/10/512皖西学院 数理系 数学分析,由格林公式，得,思考：若,L,包含原点呢？,2024/11/16,13,皖西学院 数理系 数学分析,由格林公式，得思考：若L包含原点呢？2023/10/513皖,2024/11/16,14,皖西学院 数理系 数学分析,2023/10/514皖西学院 数理系 数学分析,2024/11/16,15,皖西学院 数理系 数学分析,2023/10/515皖西学院 数理系 数学分析,二、曲线积分与路线的无关性,1,、曲线积分与路径无关的概念,2024/11/16,16,皖西学院 数理系 数学分析,二、曲线积分与路线的无关性1、曲线积分与路径无关的概念202,2,、曲线积分与路径无关的条件,定理,21.12,2024/11/16,17,皖西学院 数理系 数学分析,2、曲线积分与路径无关的条件定理21.122023/10,定理的证明：,2024/11/16,18,皖西学院 数理系 数学分析,定理的证明：2023/10/518皖西学院 数理系 数,2024/11/16,19,皖西学院 数理系 数学分析,2023/10/519皖西学院 数理系 数学分析,2024/11/16,20,皖西学院 数理系 数学分析,2023/10/520皖西学院 数理系 数学分析,注：利用曲线积分与路径的无关性，可以通过,选择适当的简单路径，得到简化计算的目的,.,2024/11/16,21,皖西学院 数理系 数学分析,注：利用曲线积分与路径的无关性，可以通过2023/10/52,3,、曲线积分与路线无关的应用,简化计算,积分与路线无关,解：,2024/11/16,22,皖西学院 数理系 数学分析,3、曲线积分与路线无关的应用简化计算积分与路线无关解：2,3,、曲线积分与路径无关的应用,求原函数,2024/11/16,23,皖西学院 数理系 数学分析,3、曲线积分与路径无关的应用求原函数2023/10/52,第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）,2019,2024/11/16,24,皖西学院 数理系 数学分析,第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）20192023,
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