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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章,刚体的定轴转动,第三章,1,3-0 第三章教学基本要求,3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律,3-2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律,第三章 刚体的定轴转动,3-0 第三章教学基本要求3-1 刚体定轴转动的动能定理和,2,教学基本要求,一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速度等概念.,二、掌握力对固定转轴的力矩的计算方法，了解转动惯量的概 念(72学时不要求用积分计算转动惯量).,三、理解刚体定轴转动的动能定理和刚体服从质点组的功能转换关系.,四、理解刚体定轴转动定律.,五、理解角动量的概念,理解刚体定轴转动的角动量守恒定律.,七、能综合应用转动定律和牛顿运动定律及质点,、刚体定轴转动的运动学公式计算质点刚体系统的简单动力学问题,.,六、会计算力矩的功(72学时只限于恒定力矩的功),、定轴转动刚体的转动动能和对轴的角动量,.,八、能综合应用守恒定律求解质点刚体系统的简单动力学问题.明确选择分析解决质点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序.,教学基本要求一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速,3,3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律,预习要点,注意描述刚体定轴转动的运动学方法.,阅读附录1中矢量乘法.力对转轴的力矩如何计算?,领会刚体定轴转动的动能定理的意义.注意区分平动动能和转动动能的计算式.注意力矩的功的计算方法.,转动惯量的定义是什么?转动惯量与哪些因素有关?,刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何?注意它的应用方法.,3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律预习要点,4,一、刚体及刚体定轴转动,刚体,：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）.,刚体的运动形式：平动、转动.,平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同.,转动：刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动.,转动分定轴转动和非定轴转动.,转轴不动,刚体绕转轴运动叫刚体的定轴转动；垂直于转轴的平面叫转动平面.,一、刚体及刚体定轴转动 刚体：在外力作用下，,5,二、描述刚体定轴转动的物理量,角位移,角坐标,角速度,角加速度,O,定轴(,Oz,轴)条件下，由,Oz,轴正向俯视，逆时针转向的 取正，顺时针取负.,二、描述刚体定轴转动的物理量角位移 角坐标角速度角加速度O,6,三、刚体定轴转动的力矩和力矩的功,P,*,O,(:力臂),刚体绕,Oz,轴旋转,O,为轴与转动平面的交点，力 作用在刚体上点,P,且在转动平面内,为由点,O,到力的作用点,P,的位矢.,对转轴,z,的力矩,1.力矩,三、刚体定轴转动的力矩和力矩的功P*O(:力臂),7,力矩的功,2.力矩作功,力矩的功2.力矩作功,8,四、刚体定轴转动的转动动能和转动惯量,1.转动动能,刚体内部质量为 的质量元的速度为,动能为,刚体定轴转动的总能量（转动动能）,四、刚体定轴转动的转动动能和转动惯量1.转动动能刚体内部质,9,定义,转动惯量,相当于描写转动惯性的物理量.,2.转动惯量,单位：,kg m,2,（千克米,2,）.,刚体定轴转动动能计算式：,对质量连续分布的刚体，任取质量元,d,m,，,其到轴的距离为,r,，则,转动惯量,与平动动能,比较转动动能,定义转动惯量相当于描写转动惯性的物理量.2.转动惯量单位：,10,设棒的线密度为 ，取一距离转轴,OO,为 处的质量元,求,质量为,m,、,长为,l,的均匀细长棒，对通过棒中心和,过端点,并与棒垂直的两轴的转动惯量.,O,O,O,O,如转轴过端点垂直于棒,刚体的转动惯量与刚体的,质量,m,、刚体的,质量分布,和,转轴的位置,有关.,3.转动惯量的计算举例,设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO,11,4.部分均匀刚体的转动惯量,薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直,2,r,球体转轴沿直径,4.部分均匀刚体的转动惯量 薄圆盘转轴通过中,12,l,细棒转轴通过中心与棒垂直,l,细棒转轴通过端点与棒垂直,l 细棒转轴通过中心与棒垂直l 细棒转轴通过端点,13,五、刚体定轴转动的动能定理,刚体是其内任两质点间距离不变的质点组，刚体做定轴转动时，质点间无相对位移，质点间内力不作功，外力功为其力矩的功；并且刚体无移动，动能的变化只有定轴转动动能的变化.,由质点组动能定理,五、刚体定轴转动的动能定理 刚体是其内任两质,14,合外力矩,对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的,增量,.,得刚体定轴转动的动能定理,注意:,2.刚体的定轴转动的动能应用 计算.,1.如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质点组的功能原理和机械能转换与守恒定律讨论.总之，刚体作为特殊的质点组，它服从质点组的功能转换关系.,合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转,15,六、刚体定轴转动的转动定律,由动能定理：,取微分形式：,两边除,d,t,由于,故得,刚体定轴转动定律,：刚体作定轴转动时，,合外力矩,等于刚体的转动惯量与角加速度的,乘积,.,六、刚体定轴转动的转动定律由动能定理：取微分形式：两边除dt,16,七、牛顿定律和转动定律的综合应用,如果在一个物体系中，有的物体作平动，有的物体作定轴转动，处理此问题仍然可以应用隔离法.但应分清哪些物体作平动，哪些物体作转动.把平动物体隔离出来，按牛顿第二定律写出其动力学方程；把定轴转动物体隔离出来，按转动定律写出其动力学方程.有时还需要利用质点及刚体定轴转动的运动学公式补充方程，然后对这些方程综合求解.,七、牛顿定律和转动定律的综合应用 如果在一个物体系中，,17,例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为,m,1,和,m,2,的物体，滑轮可视为均质圆盘，质量为,m,，半径为,r,，绳子,不可伸长而且与滑轮之间无相对滑动.求,物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张力.,受力图如下，,设,r,m,m,1,m,2,解:,例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1,18,得解,得解,19,1）系统对轴的转动惯量,J,是杆的转动惯量,J,1,与小球的转动惯量,J,2,之和.,例:,一根质量均匀分布的细杆，一端连接一个大小可以不计的小球，另一端可绕水平转轴转动.某瞬时细杆在竖直面内绕轴转动的角速度为 ，杆与竖直轴的夹角为 .设杆的质量为 、杆长为,l，,小球的质量为 .,求：1）系统对轴的转动惯量；,2）在图示位置系统的转动动能；,3）在图示位置系统所受重力对轴的力矩.,解:,l,1）系统对轴的转动惯量J是杆的转动惯量J1与小,20,2）系统的转动动能为：,3）系统所受重力有杆的中立和小球的重力.,则系统所受重力对轴的力矩的大小为：,l,2）系统的转动动能为：3）系统所受重力有杆的中立和小球的重力,21,3-2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律,预习要点,认识质点对定点的动量矩的定义，刚体对转轴的动量矩如何计算?,刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是怎样的?,动量矩守恒定律的内容及守恒定律的条件是什么?,3-2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律预习要点,22,一、动量矩,1.质点的,动量矩,质量为 的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点,O,的位矢为 ，质点相对于原点的角动量,大小,的方向符合右手法则.,单位 或,一、动量矩1.质点的动量矩 质量为,23,质点对定点,O,的动量矩 在某坐标轴,Oz,上的投影 称为该质点对轴,Oz,的动量矩,.质点作圆运动时，其对过圆心,O,且运动平面垂直的轴,Oz,的动量矩：,或,又,故得,（取正号,L,Z,与,Oz,同向，负号反向）,质点对定点O的动量矩 在某坐标轴Oz,24,2.刚体的,动量矩,O,刚体作定轴转动时，其内所有质点都在与轴垂直的平面内作圆周运动，刚体对轴的动量矩为其所有质点对同一轴的动量矩之和.,即,L,为正，其方向沿,Oz,正向，反之沿,Oz,负向.,对刚体组合系统，总动量矩为各部分对同轴动量矩之和.,2.刚体的动量矩O 刚体作定轴转动时，其内所,25,二、刚体定轴转动时的动量矩定理,刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率.,将上式变形后积分,动量矩定理:,作用在刚体上的冲量矩等于刚体动量矩的,增量.,由刚体定轴转动定律,表示作用在刚体上的合外力矩的时间积累,称为,冲量矩,.,二、刚体定轴转动时的动量矩定理刚体所受的外力矩等于刚体角动量,26,动量矩守恒定律:,当刚体转动系统受到的,合外力矩为零,时，系统的动量矩守恒.,三、动量矩守恒定律,若,，,花样滑冰,跳水运动员跳水,注意,1.对一般的质点系统，若质点系相对于某一定点所受的合外力矩为零时，则此质点系相对于该定点的动量矩始终保持不变.,2.动量矩守恒定律与动量守恒定律一样,也是自然界的一条普遍规律.,则,常量.,动量矩守恒定律:当刚体转动系统受到的合外力矩为零时，系统的,27,（1）,解：,杆和球在竖直方向所受重力和支持力与轴平行，对轴无力矩；桌面及轴皆光滑，无摩擦力矩；轴对杆的反作用力过轴也无力矩.因此，球与杆在碰撞过程中，所受外力矩为零，在水平面上，碰撞过程中系统角动量守恒.,即：,例：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为,m,、长为,2,l,、可绕过与杆垂直的光滑轴中心转动的细杆.有一质量为,m,的小球以与杆垂直的速度,与杆的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度 及杆的转动角速度,.,（1）解：杆和球在竖直方向所受重力和支持力与轴平行，对,28,弹性碰撞动能守恒,（2）,其中,联立,(1)、(2),式求解,弹性碰撞动能守恒（2）其中联立(1)、(2)式求解,29,
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