电动力学三一(矢势及其微分方程)

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三章 静磁场,恒定电流所激发的静磁场,1,主要内容,超导体的电磁性质,阿哈罗夫玻姆,(,Aharonov-Bohm,),效应,磁多极矩,磁标势,矢势及其微分方程,2,1,矢势及其微分方程,3,在给定的传导电流附近可能存在一些磁性物质，在电流的磁场作用下，物质磁化而出现磁化电流，它反过来又激发附加的磁场。磁化电流和磁场互相约制。,与解决静电学问题一样，求微分方程边值问题的解。,4,恒定电流磁场的基本方程,J,是自由电流密度。上两式结合物质的电磁性质方程是解磁场问题的基础,。,1,、,矢势,5,静电场是有源无旋场，电场线从正电荷出发而止于负电荷，永不闭合，可以引入标势来描述。,静磁场则是有旋无源场，磁感应线总是闭合曲线，一般可以引入另一个矢量来描述。,由于特性上的显著差异，描述磁场和电场的方法就有所不同。,6,则,B,可表为另一矢量的旋度,若,根据矢量分析的定理,A,称为磁场的矢势,7,矢势,A,的意义：,通过曲面,S,的磁通量,把,B,对任一个以回路,L,为边界的曲面,S,积分,8,设,S,1,和,S,2,是两个有共同边界,L,的曲面，则,9,这正是,B,的无源性的表示。因为是无源的，在,S,1,和,S,2,所包围的区域内没有磁感应线发出，也没有磁感应线终止，,B,线连续的通过该区域，因而通过曲面,S,1,的磁通量必须等于通过曲面,S,2,的磁通量。这磁通量由矢势,A,对,S,1,或,S,2,的边界的环量表示。,10,因此，矢势,A,的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。,只有,A,的环量才有物理意义，而每点上的值没有直接的物理意义,。,11,其中,B,0,为常量。,例：设有沿,Z,轴方向的均匀磁场,12,由定义式,13,有解,另一解,14,因为任意函数,的梯度和旋度恒为零，故有,即,A+,与,A,对应于同一个磁场,B,。,A,的这种任意性是由于只有,A,的环量才有物理意义，而每点上的,A,本身没有直接的物理意义。,15,由,A,的这种任意性，为了方便，我们可以对它加上一定的限制条件即辅助条件,对于上式总可以找到一个,A,适合,16,证明：,设有某一解不满足上式,另取一解,17,A,的散度为,取,为泊松方程,的一个解，就得证。对,A,所加的辅助条件称为规范条件。,18,2,、,矢势微分方程,在均匀线性介质内。把,B,=,H,和,B,=,A,代入式,H,=,J,，,得矢势,A,的微分方程,19,由矢量分析公式,若取,A,满足规范条件,A,=0,，,得矢势的微分方程,20,A,的每个直角分量,A,i,满足泊松方程,形式与静电场,的方程相同,21,对比静电场的解得矢势方程的特解,式中,x,是源点,x,为场点，,r,为由,x,到,x,的距离。上式也是第一章中由毕奥萨伐尔定律导出的公式,从毕奥萨伐尔定律可以证明上式满足规范条件，因此，该式确实是微分方程的解。,22,把磁场的散度和旋度作为基本规律，从微分方程出发引入矢势,A,，由,A,的方程获得特解，即可求得,B,。,23,过渡到线电流情形，设,I,为导线上的电流强度，作代换,J,d,V,I,d,l,，,得,这就是毕奥萨伐尔定律。,24,3,、,矢势边值关系,当全空间的电流分布,J,给定时，可以计算磁场。对于电流和磁场互相制约的问题，则必须解矢势微分方程的边值问题。,25,磁场边值关系可以化为矢势,A,的边值关系，对于非铁磁介质，矢势的边值关系为,在两介质分界面上磁场的边值关系为,26,在分界面两侧取一狭长回路，计算,A,对此狭长回路的积分。回路短边长度趋于零,上述边值关系式也可以用较简单的形式代替。,27,由于回路面积趋于零，有,因此,28,若取规范,A,=0,，,可得,即在两介质分界面上，矢势,A,是连续的。,所以,29,4,、,静磁场的能量,在静磁场中，可以用矢势和电流表示总能量。由,B,=,A,磁场的总能量,30,则,和静电情形一样，此式仅对总能量有意义，不能把,A,J,/2,看作能量密度，因为我们知道能量分布于磁场内，而不仅仅存在于电流分布区域内。,31,在上式中，矢势,A,是电流分布,J,本身激发的。如果我们要计算某电流分布,J,在给定外磁场中的相互作用能量，以,A,e,表示外磁场的矢势，,J,e,表示产生该外磁场的电流分布，则总电流分布为,J,+,J,e,，,总磁场矢势为,A,+,A,e,。,32,此式减去,J,和,J,e,分别单独存在时的能量之后，得电流,J,在外场中的相互作用能,33,由于,因此电流,J,在外场,A,e,中的相互作用能量为,34,例,1,无穷长直导线载电流,I,，求磁场的矢势和磁感应强度。,35,设,P,点到导线的垂直距离为,R,电流元,I,d,z,到,P,点的距离为,积分是发散的。计算两点的矢势差值可以免除发散。,解,利用,得,36,若取,R,0,点的矢势为零，计算可得,37,取,A,的旋度得磁感应强度,38,例,2,半径为,a,的导线园环载电流,I,，,求矢势和磁感应强度,39,解,线圈电流产生的矢势为,40,用球坐标,(,R,),，,由对称性可知,A,只有,分量，,A,只依赖于,R,而与,无关。因此我们可以选定在,xz,面上的一点,P,来计算，在该点上,A,=,A,y,。取,y,分量。由于,41,则得,上式的积分可用椭园积分表示。当,时，可以较简单的计算出近似结果。,42,把根式对,若我们要计算,B,(,R,),到二级近似。则,A,需要算到三级项。,展开。在积分表达式中展开式的偶次项对,积分为零，因此只需保留奇次项。,43,包括远场,此式的适用范围是,和近轴场,44,我们计算近轴场。这种情况下用柱坐标,(,z),较为方便。展开式实际上是对,取至,3,项，有,取,A,的旋度,，,得,的展开式。,45,上式对任意,z,处的近轴场成立。若求近原点处的场,z,a,，,可把上式再对,z,/,a,展开，得,46,