数理统计基本概念

数理统计的基本概念,一,个统计问题总有它明确的研究对象,.,1.,总体,研究某批灯泡的质量,研究对象的全体称为,总体,(,母体,),，,总体中每个成员称为,个体,.,总体,一、总体和样本,然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项,(,或几项,),数量指标和该数量指标在总体中的分布情况,.,这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体,.,某批,灯泡的寿命,该批灯泡寿命的全体就是总体,国产轿车每公里,的耗油量,国产轿车每公里耗油量的全体就是总体,由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性,.,从而可以把这种数量指标看作一个随机变量，因此随机变量的分布就是该数量指标在总体中的分布,.,这样，,总体就可以用一个随机变量及其分布来描述,.,在理论上可以把总体与概率分布等同起来,.,例如,:,研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量,X,表示，或用其分布函数,F,(,x,),表示,.,某批,灯泡的寿命,总体,寿命,X,可用一概,率分布来刻划,鉴于此，常用随机变量的记号,或用其分布函数表示总体,.,如,说总体,X,或总体,F,(,x,).,F,(,x,),类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用,X,和,Y,分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量,(,X,Y,),或其联合分布函数,F,(,x,y,),来表示,.,统计中，总体这个概念,的要旨是：,总体就是一个,概率分布,.,为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为,“,抽样,”,，所抽取的部分个体称为,样本,.,样本中所包含的个体数目称为样本容量,.,2.,样本,从国产轿车中抽,5,辆进行耗油量试验,样本容量为,5,但是，一旦取定一组样本，得到的是,n,个具体的数,(,x,1,x,2,x,n,),，,称为样本的一次观察值，简称样本值,.,样本是随机变量,.,抽到哪,5,辆是随机的,容量为,n,的样本可以看作,n,维随机变量,.,2.,独立性,：,X,1,X,2,X,n,是相互独立的随机变量,.,由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法,.,最常用的一种抽样方法叫作“,简单随机抽样,”，它要求抽取的样本满足下面两点,:,1.,代表性,：,X,1,X,2,X,n,中每一个与所考察,的总体有相同的分布,.,由简单随机抽样得到的样本称为,简单随机样本,，它可以用与总体独立同分布的,n,个相互独立的随机变量,X,1,X,2,X,n,表示,.,简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到“,X,1,X,2,X,n,是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本,.,若总体的分布函数为,F,(,x,),，,则其简单随机样本的联合分布函数为,F,(,x,1,),F,(,x,2,),F,(,x,n,),事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值,.,如我们从某班大学生中抽取,10,人测量身高，得到,10,个数，它们是样本取到的值而不是样本,.,我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量,.,3.,总体、样本、样本值的关系,总体（理论分布）,？,样本,样本值,统计是从手中已有的资料,-,样本值，去推断总体的情况,-,总体分布,F,(,x,),的性质,.,总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体,.,样本是联系二者的桥梁,由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“,加工,”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来,.,二、统计量和抽样分布,1.,统计量,这种,不含任何未知参数的样本的函数称为统计量,.,它是完全由样本决定的量,.,几个常见统计量,样本均值,样本方差,它反映了总体均值,的信息,它反映了总体方差,的信息,样本,k,阶原点矩,样本,k,阶中心矩,k,=1,2,它反映了总体,k,阶矩,的信息,它反映了总体,k,阶,中心矩的信息,2.,经验分布函数和频率直方图,3.,抽样分布,统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做,统计量的“抽样分布”,.,抽样分布就是通常的随机变量函数的分布,.,只是强调这一分布是由一个统计量所产生的,.,研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质,.,抽样分布,精确抽样分布,渐近分布,（小样本问题中使用）,（大样本问题中使用,),三,.,统计三大分布,记为,分布,1,、,定义,:,设 相互独立,都服从正态,分布,N,(0,1),则称随机变量：,所服从的分布为自由度为,n,的 分布,.,分布是由正态分布派生出来的一种分布,.,分布的密度函数为,来定义,.,其中伽玛函数 通过积分,由 分布的定义，不难得到：,1.,设 相互独立,都服从正态分布,则,2.,设 且,X,1,X,2,相互,独立，则,这个性质叫 分布的可加性,.,应用中心极限定理可得，若,，,则当,n,充分大时，,若,的分布近似正态分布,N,(0,1).,则,可以求得，,E,(,X,)=,n,D,(,X,)=2,n,若,T,的密度函数为：,记为,T,t,(,n,).,定义,:,设,X,N,(0,1),Y,且,X,与,Y,相互独立，则称变量,所服从的分布为自由度为,n,的,t,分布,.,2,、,t,分布,具有自由度为,n,的,t,分布的随机变量,T,的数学期望和方差为,:,E,(,T,)=0;,D,(,T,)=,n,/(,n,-2),对,n,2,当,n,充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形,.,但对于较小的,n,，,t,分布与,N(0,1),分布相差很大,.,t,分布的密度函数关于,x,=0,对称，且,由,定义可见，,3,、,F,分布,定义,:,设,X,与,Y,相互独立，则称统计量,服从自由度为,n,1,及,n,2,的,F,分布，,n,1,称为第一自由度，,n,2,称为第二自由度，记作,F,F,(,n,1,n,2,).,F,(,n,2,n,1,),即它的数学期望并不依赖于第一自由度,n,1.,X,的数学期望为,:,若,n,2,2,若,X,F,(,n,1,n,2,),，,X,的概率密度为,统计三大分布的定义、基本性质在后面的学习中经常用到，要牢记！,当总体为,正态分布,时，教材上给出了几个重要的抽样分布定理,.,这里我们不加证明地叙述,.,除定理,2,外，其它几个定理的证明都可以在教材上找到,.,四、几个重要的抽样分布定理,定理,1,(,样本均值的分布,),设,X,1,X,2,X,n,是取自正态总体,的样本，则有,n,取不同值时样本均值 的分布,定理,2,(,样本方差的分布,),设,X,1,X,2,X,n,是取自正态总体,的样本,分别为样本均值和样本方差,则有,n,取不同值时 的分布,定理,3,设,X,1,X,2,X,n,是取自正态总体,的样本,分别为样本均值和样本方差,则有,定理,4,(,两总体,样本,均值差的分布,),分别是这两个样本的,且,X,与,Y,独立,X,1,X,2,是取自,X,的样本,取自,Y,的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值,则有,Y,1,Y,2,是,样本,定理,5,(,两总体,样本,方差比的分布,),分别是这两个样本的,且,X,与,Y,独立,X,1,X,2,是取自,X,的样本,取自,Y,的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值，,则有,Y,1,Y,2,是,样本,