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主要内容,第六节 实对称矩阵的标准形,问题的提出,实对称矩阵的性质,主要结论,正交矩阵的求法,举例,正交的线性替换,一、问题的提出,在第五章我们得到，任意一个对称矩阵都合同,于一个对角矩阵，,使,C,T,AC,成对角形.,在这一节，我们将利用欧氏空间的理论,把第五章中关于实对称矩阵的结果进行加强，这就,是这一节要解决的主要问题：,换句话说，都有一个可逆矩阵,C,对于任意一个,n,级实对称矩阵,A,，都存在一个,n,级正交矩阵,T,，使,T,T,AT=T,-1,AT,成对角形.,先讨论对称矩阵的一些性质，它们本身在今后,也是非常有用的.,我们把它们归纳成下面几个引理,二、实对称矩阵的性质,引理 1,设,A,是实对称矩阵，则,A,的特征值,都是实数.,证明,设,0,是,A,的特征值，于是有非零向量,满足,A,=,0,.,令,其中,x,i,是,x,i,的共轭复数，则,A,=,0,.,考察等式,T,(,A,),=,T,A,T,=(,A,),T,=(,A,),T,，,T,(,A,),=,T,A,T,=(,A,),T,=(,A,),T,，,其左边为,0,T,，,右边为,0,T,.,故,0,T,=,0,T,.,又因为,是非零向量，,T,=,x,1,x,1,+,x,2,x,2,+,x,n,x,n,0.,故,0,=,0,，即,0,是一个实数.,证毕,对应于实对称矩阵,A,，在,n,维欧氏空间 R,n,上,定义一个线性变换,A,显然,A,在标准正交基,下的矩阵就是,A,.,引理 2,设,A,是实对称矩阵，,A,的定义如上,则对任意的,R,n,有,(,A,)=(,A,)，,(3),或,T,(,A,)=,T,A,.,证明,只要证明后一等式即可.,实际上,T,(,A,),=,T,A,T,=(,A,),T,=,T,(,A,).,证毕,等式(3)把实对称矩阵的特性反映到线性变换上.,我们引入下述概念：,定义 12,欧氏空间中满足等式,的线性,变换称为,对称变换,.,容易看出，对称变换在标准正交基下的矩阵是,实对称矩阵.,用对称变换来反映实对称矩阵，一些,性质可以看得更清楚.,引理 3,设,A,是对称变换，,V,1,是,A,-子空,间，则,V,1,也是,A,-子空间.,证明,设,V,1,，要证,A,V,1,，即,A,V,1,.,任取,V,1,，都有,A,V,1,.,因为,V,1,，故(,A,)=0.,因此,(,A,)=(,A,)=0,即,A,V,1,，,A,V,1,，,V,1,也是,A,-子空间.,证毕,引理 4,设,A,是实对称矩阵，则 R,n,中属于,A,的不同特征值的特征向量必正交.,证明,设,是,A,的两个不同的特征值，,分别是属于,的特征向量，即,A,=,，,A,=,.,由(,A,)=(,A,)，有,(,)=,(,).,因为,，所以(,)=0.,即,正交.,证毕,三、主要结论,现在来证明本节的主要定理.,定理 7,对于任意一个,n,级实对称矩阵,A,，,都存在一个,n,级正交矩阵,T,，使,T,T,AT,成对角形.,证明,由于实对称矩阵和对称变换的关系，只,要证明对称变换,A,有,n,个特征向量构成标准正交,基即可.,我们对空间的维数,n,作归纳法.,n,=1，显然定理的结论成立.,设,n,1 时定理的结论成立.,对,n,维欧氏空间 R,n,线性变换,A,有一特征向量,1,，其特征值为实数,1,把,1,单位化，还用,1,代表它.,作,L,(,1,)的正交补,设为,V,1,.,由,V,1,是,A,的不变子空间，其,维数为,n,1.,又,A,|,V,1,显然也满足,仍是对,称变换.,据归纳假设，,A,|,V,1,有,n,1 个特征向量,2,n,构成,V,1,的标准正交基.,从而,1,2,n,是 R,n,的标准正交基，又是,A,的,n,个特征向量.,定理得证.,证毕,四、正交矩阵的求法,下面来看看在给定一个实对称矩阵,A,之后，按,什么办法求正交矩阵,T,使,T,T,AT,成对角形.,在定理,的证明中我们看到，矩阵,A,按,式在 R,n,中定,义了一个线性变换.,求正交矩阵,T,问题就相当于在,R,n,中求一组由,A,的特征向量构成的标准正交基.,事,实上，设,是 R,n,的一组标准正交基，它们都是,A,的特征向量.,显然，由,1,2,n,到,1,2,n,的过渡矩,是,T,是一个正交矩阵，而,T,-1,AT,=,T,T,AT,就是对角形.,根据上面的讨论，求正交矩阵,T,的步骤如下：,STEP 1,求出,A,的特征值.,设,1,r,是,A,的全部不同的特征值.,STEP 2,对于每个,i,，解齐次线性方程组,求出一个基础解系，这就是,A,的特征子空间,的,一组基.,由这组基出发，按,的方法求出,的一组标准正交基,STEP 3,因为,1,r,两两不同，所以根据,这一节,向量组,还是两两正交的.,又根据,以及第七章,第五节的讨论，它们的个数就等于空间的维数.,因,此，它们就构成 R,n,的一组标准正交基，并且也都,是,A,的特征向量.,这样，正交矩阵,T,也就求出了.,五、举例,例 1,已知,求一正交矩阵,T,使,T,T,AT,成为对角形.,解,先求,A,的特征值.,单击这里求解,所以,A,的特征值为：,其次，求属于 1 的特征向量.,把,=1 代入,单击这里求解,求得基础解系为,把它正交化，得,再单位化，得,这是属于三重特征值 1 的三个标准正交的特征向,量.,再求属于-3 的特征向量.,用,=-3 代入(4),得,单击这里求解,求得基础解系为,(1，-1，-1，1).,把它单位化，得,特征向量,1,2,3,4,构成 R,4,的一组标准正交基,所求的正交矩阵为,而,T,T,AT,=diag(1,1,1,-3).,例 2,设,求正交矩阵,P,使,P,-1,AP,为对角矩阵.,应该指出，在,中，对于正交矩阵,T,我们还可以进一步要求,|,T,|=1.,事实上，如果求得的正交矩阵,T,的行列式为-1，,那么取,令,T,1,=,TS,，,则,T,1,是正交矩阵，而且,|,T,1,|=|,T,|,S,|=1.,显然,T,1,T,AT,1,=,T,T,AT,.,六、正交的线性替换,如果线性替换,的矩阵,C,=(,c,ij,),是正交的，那么它就称为,正交的,线性替换.,正交的线性替换当然是非退化的.,用二次型的语言，,可以叙述为：,定理 8,任意一个实二次型,都可以经过正交的线性替换变成平方和,1,y,1,2,+,2,y,2,2,+,n,y,n,2,其中平方项的系数,1,2,n,就是矩阵,A,的特,征多项式全部的根.,最后我们指出，这一节的结果可以应用到几何,上化简直角坐标系下二次曲面的方程，以及讨论二,次曲面的分类.,在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是,a,11,x,2,+,a,22,y,2,+,a,33,z,2,+2,a,12,xy,+2,a,13,xz,+2,a,23,yz,七、二次曲面的化简,+,2,b,1,x+,2,b,2,y+,2,b,3,z+d=,0,.,(5),令,则(5)式可以写成,X,T,AX,+2,B,T,X,+,d,=0.(6),经过转轴，坐标变换公式为,或者,X,=,CX,1,.,其中,C,为正交矩阵且|,C,|=1.,在新坐标系中，曲,面的方程就是,X,1,T,(,C,T,AC,),X,1,+2(,B,T,C,),X,1,+,d,=0.,根据上面的结果，有行列式为 1 的正交矩阵,C,使,这就是说，可以作一个转轴，使曲面在新坐标系中,的方程为,1,x,1,2,+,2,y,1,2,+,3,z,1,2,+2,b,1,*,x,1,+2,b,2,*,y,1,+2,b,3,*,z,1,+,d,=0,其中,(,b,1,*,b,2,*,b,3,*,)=(,b,1,b,2,b,3,),C,.,这时，再按照,1,2,3,是否为零的情况，作适当,的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程.,譬如说，当,1,2,3,全不为零时，就作移轴,于是曲面的方程化为,1,x,2,2,+,2,y,2,2,+,3,z,2,2,+,d,*,=0,其中,例 3,把下列二次曲面的方程化为标准形，并,确定曲面的形状.,解,方程中的二次型部分的矩阵为,下面来求正交矩阵,C,，使,C,T,AC,成对角形.,先,求,A,的特征值.,单击这里求特征多项式,所以,A,的三个特征值为:,当,时,解方程组,即,得,单击这里求解,当,时,解方程组,即,得,单击这里开始求解,当,时,解方程组,即,得,单击这里开始求解,显然,p,1,p,2,p,3,两两正交,现把它们单位化.,令,再令,则,C,为正交矩阵,且有,由于,所以作转轴,X,=,CX,1,后，曲面,在新坐标系中的方程就是,变形得,最后作移轴,于是曲面的方程就化成标准方程：,由此可知，方程所表示的曲面为双叶双曲面.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,
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