数据库概论-关系代数概述 (2)

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,关系代数概述,关系是一个属性数目相同的元组的集合。,关系代数,Relational Algebra,什么是代数？,1,“,关系代数”前传,数学，从总体上划分：,代数学：研究数的部分；,几何学：研究形的部分；,分析学：沟通形与数且涉及极限运算的部分。,代数学范畴：,算术,初等代数,高等代数,数论,抽象代数,2,“,关系代数”前传,一、算术,(,一,),、含义,现代小学课程内容的算术，主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。,如果是在高等数学中，则有“数论”的含义；,(,二,),发展,10,世纪或,11,世纪，起源于印度；后来被阿拉伯人采用；之后传到西欧；,15,世纪，它被改造成现在的形式；,19,世纪中叶，格拉斯曼第一次成功地挑选出一个基本公理体系，来定义加法与乘法运算；,(,三,),地位,深刻地反映了世界的客观规律性；,构成了数学其它分支的最坚实的基础。,3,“,关系代数”前传,二、初等代数,(,一,),含义,中学数学课程主要内容的初等代数，其,中心内容是方程理论,。,代数一词的拉丁文原意是“归位”。,代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向两个方面扩展的：,1,、增加未知数的个数，考察由有几个未知数的若干个方程所构成的二元或三元方程组,(,主要是一次方程组,),；,2,、增高未知量的次数，考察一元二次方程或准二次方程。初等代数的主要内容在,16,世纪便已基本上发展完备了。,4,“,关系代数”前传,二、初等代数,(,二,),发展,1,、解方程,公元前,19,世纪前,17,世纪，古巴比伦解决一次和二次方程；,公元前,4,世纪，欧几里得的,原本,中就有用几何形式解二次方程的方法；,公元,1,世纪，我国的,九章算术,中有三次方程和一次联立方程组的解法，并运用了负数；,3,世纪，丢番图用有理数求一次、二次不定方程的解；,13,世纪，我国出现的天元术,(,李冶,测圆海镜,),是有关一元高次方程的数值解法；,16,世纪意大利数学家发现了三次和四次方程的解法；,5,“,关系代数”前传,二、初等代数,(,二,),发展,2,、代数符号发展三个阶段,代数学符号发展的历史，可分为三个阶段：,三世纪之前，,文字叙述代数,：对问题的解不用缩写和符号，而是写成一篇论文；,三世纪至,16,世纪，,简化代数,：对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法；丢番图的杰出贡献之一，就是把希腊代数学简化，开创了简化代数。,16,世纪以后，,符号代数,：对问题的解多半表现为由符号组成的数学速记，这些符号与所表现的内容没有什么明显的联系。,16,世纪韦达的名著,分析方法入门,，对符号代数的发展有不少贡献。,16,世纪末，维叶特开创符号代数，经笛卡尔改进后成为现代的形式。,6,“,关系代数”前传,二、初等代数,(,二,),发展,3,、基础符号,1489,年，魏德曼，“”、“”号第一次在数学书中出现；,1514,年，由荷伊克开始大家所公认；,1540,年，雷科德开始使用现在使用“”；,1600,年，哈里奥特创用大于号“”和小于号“”；,1631,年，奥屈特给出“,”,、“,”,作为乘除运算符；,1637,年，笛卡尔第一次使用了根号，并引进用字母表中头前的字母表示已知数、后面的字母表示未知数的习惯做法。,4,、数,公元前,4,世纪，古希腊人发现无理数；,公元前,2,世纪,(,西汉时期,),，我国开始应用负数；,1545,年，意大利的卡尔达诺开始使用虚数；,1614,年，英国的耐普尔发明对数；,17,世纪末，一般的实数指数概念才逐步形成。,7,“,关系代数”前传,三、高等代数,(,一,),含义,在高等代数中，一次方程组,(,即线性方程组,),发展成为线性代数理论；是包含向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科；,、二次方程发展成为多项式理论；是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。,作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。,8,“,关系代数”前传,三、高等代数,(,二,),发展,1683,年，关孝和,(,日本人,),最早引入,行列式,概念；,1841,年，雅可比,行列式理论最系统的论述；,1855,年，凯雷引入了,矩阵,的概念；,(,在逻辑上，矩阵的概念先于行列式的概念；而在历史上，次序正相反；行列式和矩阵在数学上并不是大的改革，而是,速记的一种表达式,。不过已经证明它们是,高度有用的工具,),。,9,“,关系代数”前传,三、高等代数,(,二,),发展,1515,年，菲洛解决了被简化为,缺,2,次项的,3,次方程,的求解问题；,1540,年，费尔拉里成功地发现了,一般,4,次方程,的代数解法。人们继续寻求,5,次、,6,次或更高次方程的求根公式，但这些努力在,200,多年中付诸东流。,(,多项式代数的研究始于对,3,、,4,次方程求根公式的探索。,),1746,年，达朗贝尔首先给出了“代数学基本定理”的证明,断言：一般地说，,n,次代数方程应当有,n,个根,；,1799,年，,22,岁的高斯在写博士论文中，给出了这个定理的第一个严格的证明；,1824,年，,22,岁的阿贝尔证明了：高于,4,次的一般方程的全部系数组成的根式，不可能是它的根；,1828,年，年仅,17,岁的伽罗华创立了“,伽罗华理论,”，包含了方程能用根号解出的充分必要条件。,10,“,关系代数”前传,四、数论,含义,以正整数作为研究对象的数论，可以看作是算术的一部分，但它不是以运算的观点，而是以数的结构的观点，即一个数可用性质较简单的其它数来表达的观点来研究数的。因此可以说，数论是研究由整数按一定形式构成的数系的科学。,11,“,关系代数”前传,五、抽象代数,抽象代数又称近世代数，他的基本观念与目标都决定于十九世纪。,由于代数可以处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次的效率，这就是抽象代数诞生的场景。,抽象代数的研究已成为二十世纪的热潮之一，而且现在它已经拓展到悠远的境界，前面所提过的数学家，都曾经在抽象代数的发展作出重大的贡献，我们也可以说寻求方程式有无根的表示法是开发抽象代数的原动力。,抽象代数中所介绍的结构是以群、环,(ring),、体为主。,12,“,关系代数”前传,关系代数是以关系为运算对象的一组高级运算的集合。,一种抽象的查询语言，用对关系的运算来表达查询。,13,