4-1正态分布的概率密度与分布函数

第四章 正态分布,数学与信息技术系,第一节 正态分布的概率密度,与分布函数,本章我们讨论概率论与数理统计中最常,用、最重要的一种连续型随机变量的分布,正态分布,实例,1,零件的尺寸,(P49,例,),在自动机床加工制造零件的过程中，我们周期地抽取一些样品，测量它们的尺寸，并记录在专用的表格上。设共抽取,250,个零件，测得零件尺寸与规定尺寸的偏差如下表,现实世界中有许多事件服从或者近似服从这一分布，如：,频数,偏差,/,m,偏差适中的零件较多，偏差大的零件只是少数,其直方图如下图,实例,2,年降雨量问题，我们用上海九十九年年降雨量的数据画出的频率直方图。,年降雨量在,1100,附近的较多，降雨量特多或者特少的情形只是少数年份,实例,3(,某大学大学生,),下图是用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。,红线,是拟合的曲线,具有,“,两头低，中间高，左右对称,”,除了我们在前面介绍过的,零件的尺寸,、年降雨量和身高外,在正常条件下各种产品的其它质量指标如纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从这样一种分布,正态分布,.,复习：连续型随机变量的刻画方式有哪些,？,1.,概率分布函数或分布函数,F(x,):=,P(Xx,),2.,概率分布密度或概率密度：,性质：,1,o,2,o,f,(,x,),x,o,面积为1,这两条性质是判定一个函数,f(x,),是否为某随机变量,X,的,概率密度函数的充要条件,.,分布函数与概率密度的内在联系：,或者,设 定义如下,它能成为某个随机变量的概率密度吗？,回答是肯定的。这是因为,(I),、,正态分布的定义,显然,满足，,下面验证 也成立,其实，此时只要令 就有,至于 的证明参见华东师大版数学分析,下册,P187,例,7,，或者利用,函数的性质,.,.,y=f,(,x,),所确定的曲线叫作,正态分布曲线,.,记作,(Normal),若随机变量,X,的,概率密度为,其中 和 都是常数，任意，,0,，,则称,X,服从参数为 和 的,正态分布,(,高斯分布,).,由此我们给出如下的定义,(II),、,正态分布 分布曲线的特点,正态分布的,分布曲线,是一条关于 对称的钟形曲线,.,特点是,“,两头低，中间高，左右对称,”,.,令,x,=,+,c,x,=,-,c,(,c,0),分别代入,f,(,x,),可得,f,(,+,c,)=,f,(,-,c,),且,f,(,+,c,),f,(,),f,(,-,c,),f,(,),故,f,(,x,),以,为对称轴，并在,x,=,处达到最大值,因为,当,x,时，,f,(,x,),0,这说明曲线,f,(,x,),向左右伸展时，越来越贴近,x,轴。即,f,(,x,),以,x,轴为渐近线。,这是数学分析的内容，如果忘记了，课下再复习一下。华东师大版数学分析上册,P152,页,用求导的方法可以证明，,x=,为,f,(,x,),的两个拐点的横坐标。,对,固定，变化时的图形,决定了图形的中心位置,固定，变化时的图形,决定了图形中峰的陡峭程度,.,(III),、,正态分布,的分布函数,因为,X,即 故,(IV),、,标准正态分布,其概率密度和分布函数常用,和,表示：,的正态分布称为,标准正态分布,(x),的一个重要性质,任何一个,一般的正态分布都可以通过线性变换转化为,标准正态分布,.,它的依据是下面的定理：,标准正态分布的重要性在于，,定理,N,(0,1),设,则,(V),、标准正态分布与一般正态分布的关系,：,事实上，由公式,其中,Y,=,a+bX,，,可知当 时有,（,VI,）、利用正态分布表进行计算,若,X,N,(0,1),则,当,a0,时，可以通过附录正态分布函数数值表,(,表,2),查得,;,当,a,b,中至少有一个为负数,(,不妨设,a,为负数,),时,则没办法直接查表到,这时可以先查得 ，然后利用公式可以，,求得,若,N,(0,1),这说明，,X,的取值几乎全部集中在,(-,3,3,),区间,内，超出这个范围的可能性仅占不到,0.3%,.,由标准正态分布的查表计算可以求得，,当,X,N,(0,1),时，,P,(|,X,|1)=2,(,1,)-,1,=,0.6826,P,(|,X,|2)=2,(,2,)-,1,=,0.9544,P,(|,X,|3)=2,(,3,)-,1,=,0.9974,（,VII,）,、,3,准则,由标准正态分布与一般正态分布的关系，若,时，,N,(0,1),实际,可能的取值区间，,这在统计学上称作,可以认为，,X,的取值几乎全部集中在,区间,因而根据小概率事件的实际不可能性,原理，,准则,”,（三倍标准差原则）,我们常把,看作是随机变量,X,例,1,（,1,）,假设某地区成年男性的身高（单,位：,cm,）,X,N,(,170,7.,69,2,),，,求该地区成年,男性的身高超过,175cm,的概率。,解,:(1),根据假设,X,N,(,170,7.,69,2,),，,则,故事件,X175,的概率为,P(X175)=,=0.2578,解,:(2),设车门高度为,h,cm,按设计要求,P,(,X h,)0.01,或,下面我们来求满足上式的最小的,h,.,（,2,）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在,0.01,以下来设计的，问车门高度应如何确定,?,P,(,X,h,)0.99,，,因为,X,N,(,170,7.,69,2,),故,P,(,X,0.99,所以,=,2.33,即,h,=170+17.92 188,设计车门高度为,188,厘米时，可使,男子与车门碰头,机会不超过,0.01,.,P(,X,0,时，,F,Y,(y,)=,P(,),所以，,Y,的分布函数为,故，,Y,的概率密度为,所得分布称为自由度为,1,的 分布,(,参看,5.3),小结：这一讲，我们介绍了正态分布,(,一般正态分布以及标准正态分布,),概率密度、分布函数及相关性质，以及如何将一般,正态分布转化为标准正态分布进行计算等问题,