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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本讲内容与重点,重点：,行列式按行(列)展开 降阶法。,内容,为四个,“,一,”,：一个引理，一个定理，一个方法，一个推论。,本讲内容与重点 重点：行列式按行(列)展开 降阶,1,计算行列式的常用方法之一,利用运算,把行列式化为,上,/,下三角形行列式,，从而算得行列式的值,注：只使用行,(,列,),运算即可将行列式化为上或下三角形。,计算行列式的常用方法之一利用运算,2,行 列 式 之 性 质,性质,互换行列式的两行（列），行列式变号。,行 列 式 之 性 质 性质 互换行列式的两行（列），行列式,3,性质,把行列式的某一列（行）的各 元素乘以同一数然后加到另一列,(,行,),对应的元素上去，行列式不变,行 列 式 之 性 质,性质把行列式的某一列（行）的各 元素乘以同一数然后加到另一,4,例,证明,块下三角行列式,例证明块下三角行列式,5,证明,证明,6,线性代数第四讲课件,7,计算行列式,计算行列式,8,计算行列式的另一条思路,将,高阶,行列式的计算化为,低阶,行列式的计算。,计算行列式的另一条思路将高阶行列式的计算化为低阶行列式的计,9,行列式降阶举例,行列式降阶举例,10,行列式降阶举例,行列式降阶举例,11,余子式与代数余子式,余子式与代数余子式,12,在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的,余子式,，记作,叫做元素 的,代数余子式,例如,在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和,13,线性代数第四讲课件,14,引理,一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外,15,证,当 位于第一行第一列时,根据块三角行列式性质，即有,又,从而,再证一般情形,此时,证当 位于第一行第一列时,根据块三角行列式性质，即,16,得,得,17,得,得,18,线性代数第四讲课件,19,中的余子式,中的余子式,20,故得,于是有,故得于是有,21,定理,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,行列式按行（列）展开法则,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子,22,回顾性质,5,若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,.,则,D,等于下列两个行列式之和：,例如,回顾性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等,23,线性代数第四讲课件,24,P-S,Laplace(1749-1827),法国应用数学家与理论物理学家,P-S,Laplace(1749-1827),法国应用,25,P-S,Laplace(1749-1827),法国应用数学家与理论物理学家,P-S,Laplace(1749-1827),法国应用,26,P-S,Laplace(1749-1827),(法)数学家,、理论物理学家,“,法国的牛顿,”,/French Newton,，有史以来最伟大的科学家之一。,数学：拉普拉斯等式，拉普拉斯变换，拉普拉斯微分算子，等等。,统计学理论奠基人，,e.g.,贝叶斯概率。,名言,(,last words,),：,我们所知者甚少，所不知者甚广。,What we know is not much.What we do not know is immense.,P-S,Laplace(1749-1827),(法),27,P-S,Laplace(1749-1827),(法)数学家,、理论物理学家,天文学：论证了太阳系的稳定性，提出了,“,星云说,”,。是,“,黑洞,/black holes,”,存在理论以及,“,重力塌陷,/gravitational collapse,”,理论的奠基人。,小行星以他命名；艾菲尔铁塔上镌刻的,72,位法国科学家、工程师之一。,P-S,Laplace(1749-1827),(法),28,镌刻,着,72位法国科学家、工程师,的艾菲尔铁塔,镌刻着72位法国科学家、工程师的艾菲尔铁塔,29,例,计算行列式,解,按第一行展开，得,若按第二列展开，得,例 计算行列式解按第一行展开，得若按第二列展开，得,30,计算行列式的主要方法,1.,根据行列式的性质（特别是性质,6,），将,高阶,行列式某行（列）中的元素，尽可能多地化为,0,；,然后按照展开定理，将其化为,低阶,行列式的计算。,计算行列式的主要方法1.根据行列式的性质（特别是性质6,31,例,例,32,线性代数第四讲课件,33,例,计算行列式,解,例 计算行列式解,34,线性代数第四讲课件,35,证,用数学归纳法,例,证明范德蒙德,(,Vandermonde,1735-96),行列式,证用数学归纳法例证明范德蒙德(Vandermonde,17,36,线性代数第四讲课件,37,n-,1,阶范德蒙德行列式,n-1阶范德蒙德行列式,38,
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