小波的例子与小波卷积构造定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,2,章 小波变换及其应用,2.4,小波与小波卷积构造定理,1.,允许小波定义,由连续小波变换需要可逆性，可知,这里,由此可推知,这一结论指出，,(,t,),的取值必然是有正有负，也即它是振荡的。,即小波具有具有局部性质和快速衰减性,满足上述两条的 称为允许小波，有时也称母小波,2.,基本小波定义,若 满足,则称 为基本小波，有时也称为母小波,允许小波一定是基本小波，基本小波未必就是允许小波,(1)Haar,小波,这是一种最简单的正交小波，即,3.,常用的基本小波,常用的基本小波,(2)Daubechies,（,dbN,）小波系,D4,尺度函数与小波,D6,尺度函数与小波,常用的基本小波,(3),双正交小波,（,biorNr.Nd,）小波系,双正交,B,样条小波,bior2.2,bior4.4,（,7-5,）小波滤波器,:,常用于图形学中。其中尺度函数是一个三次,B,样条。,Biorthogonal,函数系的主要特征体现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像的重构中。通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构。,Biorthogonal,函数系通常表示为,biorNr.Nd,的形式：,Nr=1 Nd=1,，,3,，,5,Nr=2 Nd=2,，,4,，,6,，,8,Nr=3 Nd=1,，,3,，,5,，,7,，,9,Nr=4 Nd=4,Nr=5 Nd=5,Nr=6 Nd=8,其中，,r,表示重构，,d,表示分解。,(4)Coiflet（coifN）小波系,coiflet函数也是由Daubechies构造的一个小波函数，它具有coifN（N=1，2，3，4，5）这一系列，coiflet具有比dbN更好的对称性。从支撑长度的角度看，coifN具有和db3N及sym3N相同的支撑长度；从消失矩的数目来看，coifN具有和db2N及sym2N相同的消失矩数目。,(5)SymletsA（symN）小波系,Symlets函数系是由Daubechies提出的近似对称的小波函数，它是对db函数的一种改进。Symlets函数系通常表示为symN（N=2，3，8）的形式。,常用的基本小波,(6).Morlet,小波,Morlet,小波是,Gabor,小波的特例。,Gabor,小波,Morlet,小波,常用的基本小波,(7),高斯小波,常用的基本小波,(8).Marr,小波,（也叫墨西哥草帽小波）,常用的基本小波,(9).Meyer,小波,它的小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下：,这里,常用的基本小波,(10).Shannon,小波,常用的基本小波,(11).Battle-Lemarie,样条小波,Battle-Lemarie,线性样条小波及其频域函数的图形,4.,不是小波的例,5.小波卷积构造定理,（,1,）利用卷积运算，可以提高小波函数的光滑性，我们自然希望这个经“磨光”后的函数仍是小波函数，下面的定理肯定了这一点。,定理：设 是一个小波母函数（允许小 波），是 有界函数，则卷积,也是一个小波母函数。,（,2,）例子,例,1,线性样条小波，设,其中,而 为,haar,小波,当然若 则得到的小波光滑性会更好一些,