差分方程模型

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,海洋中鱼的数量通常是按繁殖期的长短呈周期变化的。以太平洋里的鲑鱼为例，其生长繁殖过程大致是，成年的鲑鱼产下大量的卵，在卵成长为幼鱼和幼鱼长大的过程中，相当大的部分被成年的鱼吃掉，剩下来的还要被恶劣的环境淘汰一些，而成年的鱼在产卵后则活不了多久就会死掉。,一 问题的提出,试建立鲑鱼产卵期到来之前，其数量变化规律的数学模型。,鲑鱼数量的变化问题,二 生长特点,1,呈周期性变化；,2,在每个周期里，经过了从卵、幼鱼到成年鱼,的变化过程。,一般地，长期观察是呈离散变化，而在每个离散时间段里呈连续变化。,如：树木的生长、冰箱温度的变化等，,嵌入式模型,嵌入式模型,它把一个个短期内描述连续变化过程的微分方程，嵌入到一个长期的描述离散变化规律的差分方程中，而那些描述短期演变过程的微分方程在定性上应该是相同的，只是在定量上参数与初始条件有所改变。,三 符号的说明,：第,n,个繁殖期（周期）开始时成年鲑鱼（鲑鱼）的数量，以条数计，,n=1,2,；,：在每个周期内，时刻,t,幼鱼的数量；,为了反映每个周期末和下个周期开始时的突变性，引入下列记号：,可以很小。在区间,内允许数量上的突变,四 模型的假设,1,成正比，比例系数为 ，表示每,条鱼的产卵量；,2,单位时间内 减少的比例与 成正比，,比例系数为 ，表示鲑鱼吞食幼鱼的能力；,3,成正比，比例系数为 ，表示在,繁殖期末幼鱼存活长成鲑鱼的比例。,五 模型建立,根据假设条件容易写出,（,1,）,（,2,）,（,3,）,方程（,2,）的解为,（,4,）,将（,1,），（,4,）代入（,3,）式得,（,5,）,若记,（,6,）,则方程（,5,）可写作,（,7,）,差分方程（,7,）是将每周期内的微分方程（,2,）嵌入,（,1,）、（,3,）得到的。这种嵌入式模型的一般形式,可以表为,（,8,）,差分方程（,7,）无法求出,的显式表达式，只能递推,求数值解。例如设,（表示,1,个数量单位，,比如,条），第,1,代（）,鲑鱼吞食掉,90%,的幼鱼,即,，代入（,4,），（,6,）是可以算出,若,分别取,，则由（,6,）式,将,代入（,7,）式递推计算,，考察鲑鱼数量的,周期变化规律，结果见表。,0,1.000,1.000,1.000,11,0.6979,1.739,1.884,1,0.500,1.100,1.500,12,0.6996,0.3488,0.3691,2,0.7906,0.9611,0.7115,13,0.6986,1.719,2.367,3,0.6402,1.156,2.074,14,0.6992,0.3614,0.1526,4,0.7329,0.8876,0.2625,15,0.6988,1.730,1.611,5,0.6778,1.265,2.151,16,0.6991,0.3545,0.5919,6,0.7117,0.7562,0.2278,17,0.6989,1.724,2.272,7,0.6912,1.458,2.022,18,0.6990,0.3581,0.1821,8,0.7037,0.5584,0.2882,19,0.6989,1.727,1.796,9,0.6961,1.698,2.226,20,0.6990,0.3562,0.4308,10,0.7007,0.3744,0.1983,21,1.725,2.396,22,0.3572,0.1443,32,0.3568,0.4531,23,1.726,1.552,33,1.726,2.394,24,0.3567,0.6526,34,0.3568,0.1449,25,1.726,2.178,35,1.726,1.557,26,0.3569,0.2167,36,0.3568,0.6481,27,1.726,1.973,37,1.726,2.186,28,0.3568,0.3147,38,0.3568,0.2137,29,1.726,2.287,39,1.726,1.960,30,0.3569,0.1771,40,0.3568,0.3225,31,1.726,1.676,按（,7,）式（,b=2.3,和不同的,a,）计算的,由表可知，对于,趋向稳态值,0.699,，即初值,的,70%,；对于,交替地趋向两个稳态值,0.3568,和,1.726,，对于,则难以看出什么规律。,六 平衡点及稳定性分析,为了研究对于不同的,，鲑鱼数量,的变化,规律，我们利用差分方程求解的有关结果讨论（,7,）,的平衡点及稳定性。,方程（,7,）的平衡点,满足,（,9,）,注：,也是方程（,7,）的平衡点，但容易验证它不,是稳定的,，不再讨论，以后平衡点均指非零的。,（,9,）的非零解为,（,10,）,平衡点稳定的条件是,这里,因为,所以当,，即,时,是稳定平,衡点，而当,时,不稳定。,这个结果表明，,是否稳定只取决于,与,无关。,而,，注意到,和,的含义可知,表示的是,鲑鱼从一个周期到下一周期增长关系的一个因素（增,长率还与 有关），正是这因素决定了 的稳定状,态情况。,根据上述分析，当,时，,稳定，且若,由（,10,）可得,，而当,时,不稳定,这与前面的数值结果（见表）是一致的。,为了进一步研究,（如 ）,时,的变,化情况，应该考察方程（参考倍周期收敛的相关内,容）,（,11,）,其中,的具体形式由方程（,7,）给出。,首先用无量纲化方法简化方程，令,（,12,）,则方程化为（,7,）化为,（,13,）,（,14,）,显然，当,时,是方程（,13,）的稳定平衡点，,而,时,不稳定。下面讨论,的情况。,考察方程,（,15,）,其中,由（,13,）给定。方程（,15,）的平衡点除,以外还有,和,，满足,和,（,16,）,由（,16,）不难得到,（,17,）,于是,是方程,（,18,）,的两个根。若记函数,（,19,）,则曲线,和直线,有,3,个交点，其横坐,标是,，,1,和,（见图）。当,时,用数值方法可以算出,（,20,）,是方程（,15,）稳定平衡点的条件是,O,1,2,经过比较精密的计算得到，当,（,21,）,时上述条件成立。,这个结果表明，在条件（,21,）下方程（,13,）给出的,序列 是,2,倍周期稳定的，即子序列 和 当,时分别趋向于,和,代回到变量,，由（,14,）式可知条件（,21,）相,当于,（,22,）,所以当,时,是,2,倍周期稳定的，两个稳定值,和,可以从（由（,12,）式）,（,23,）,和（,20,）式算出。当,时,与表中结果一致。,当,以后应该研究,的,倍周期稳定的情,况,。若记,是,倍周期稳定的上限，有结,果指出,时，,，当,时,的趋,势出现混沌现象。表中的,相当于,，所以,的变化没有什么规律性可言。,评注：,嵌入式模型适用于将各个周期内用微分方程描,述的、性质上相同的连续变化规律，嵌入到长期的,用差分方程描述的离散变化过程的问题。除了生物,的周期性繁殖现象外，再生资源的周期性收获，人,体对周期性注入药物的反应，周期性排放污物的环,境变化等都可以用这种模型研究。,我们在这里遇到了序列,的,倍周期收敛现象,，因为方程（,13,）的非线性程度更高，,所以，对平衡点收敛性分析更为困难。,