逻辑联结词与四种命题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,#,高中总复习（第,1,轮）,理科数学,全国版,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,#,高中总复习（第,1,轮）,理科数学,全国版,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,#,高中总复习（第,1,轮）,理科数学,全国版,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,#,高中总复习（第,1,轮）,理科数学,全国版,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,#,高中总复习（第,1,轮）,理科数学,全国版,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,#,高中总复习（第,1,轮）,理科数学,全国版,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,#,第 讲,4,逻辑联结词与四种命题,第一章 集合与简易逻辑,考点搜索,与命题有关的几个概念,四种命题及其之间的关系,反证法的步骤及应用,利用简易逻辑知识解决数学综合题高,高考猜想,逻辑部分的内容是新教材新增内容，基本的逻辑知识是人们认识和研究问题不可缺少的工具，因此这是高考命题的热点，常以选择题的形式出现,.,高考中主要考查命题与命题间的逻辑关系以及判断是非的能力和推理能力，尤其要重视“等价转化”思想和“反证法”的应用,.,一、,逻辑联结词与命题,1.,逻辑联结词为,(1),、,(2),、,(3),.,2.,复合命题的定义是,(4),.,二、,命题真值表,1.,非,p,型：若,p,真，则非,p,为,(5),;,若,p,假，则非,p,为,(6),.,或,且,非,有逻辑联结词的命题叫做复合命题,假,真,2.,p,且,q,型：若,p,、,q,真，则,p,且,q,为,(7),;,若,p,、,q,一真一假，则,p,且,q,为,(8),;,若,p,、,q,假，则,p,且,q,为,(9),.,3.,p,或,q,型：若,p,、,q,真，则,p,或,q,为,(10),;,若,p,、,q,一真一假，则,p,或,q,为,(11),;,若,p,、,q,假，则,p,或,q,为,(12),.,真,假,假,真,真,假,三、,四种命题及其相互关系,1.,四种命题：原命题为“若,p,则,q,”,，则它的逆命题为,(13),;,它的否命为,(14),;,它的逆否命题为,(15),.,2.,相关系：原命题与它的,(16),等价；逆命题与它的,(17),等价,.,若,q,则,p,若非,p,则非,q,若非,q,则非,p,逆否命题,否命题,四、,几个重要结论,“至少有一个”的否定形式为,(18),;“,至多有一个”的否定形式为,(19),;“,都是”的否定形式为,(20),；“某个”的否定形式为,(21),；“所有的”否定形式为,(22),;“,任意两个”的否定形式为,(23),;“,任意”的否定形式为,(24),；,一个也没有,至少有两个,不都是,任意一个,某些,某个,某两个,“至多有,n,个”的否定形式为,(25),;,“,p,且,q,”,的否定形式为,(26),；,“,p,或,q,”,的否定形式为,(27),;,“,对所有的,x,成立”的否定形式为,(28),；,“对任何的,x,不成立”的否定形式为,(29),.,非,p,或非,q,非,p,且非,q,存在某个,x,不成立,存在某个,x,成立,至少有,n,+1,个,五、,反证法,反证法常用于证明唯一性、以否定形式出现、正面考虑较难的题型,.,在推证矛盾时，一般有三种表现形式：,一是与,(30),产生矛盾；,二是与自身产生矛盾；,三是与已知真命题产生矛盾,.,已知条件,1.,在一次模拟打飞机的游戏中,小王连续射击两次,.,设命题,p,：“第一次击中飞机”,命题,q,：“第二次击中飞机”,.,试用,p,q,以及逻辑联结词表示下列命题,:,(1),命题,S,:,两次都击中飞机,;,(2),命题,R,:,两次都没有击中飞机,;,(3),命题,T,:,恰有一次击中飞机,;,(4),命题,U,:,至少有一次击中飞机,.,(1),p,且,q,；,(2),(3),(4),p,且,q,，或,p,或,q,.,2.,命题“存在,x,0,R,，,2,x,0,0”,的否定是,(),A.,不存在,x,0,R,2,x,0,0,B.,存在,x,0,R,2,x,0,0,C.,对任意的,x,R,2,x,0,D.,对任意的,x,R,2,x,0,由题知命题的否定即“对任意的,x,R,2,x,0”,，故选,D.,D,3.,有下列四个命题,:,“,若,xy,=1,则,x,y,互为倒数”的逆命题,;,“,面积相等的三角形全等”的否命题,;,“,若,m,1,则,x,2,-2,x,+,m,=0,有实根”的逆否命题,;,“,若,A,B,=,B,则,”,的逆命题,.,其中真命题是,(),A.B.C.D.,C,“若,xy,=1,，则,x,y,互为倒数”的逆命题“若,x,y,互为倒数，则,xy,=1”,正确；,“面积相等的三角形全等”的否命题“面积不相等的三角形不全等”正确；,因为,m,1=4-4,m,0,x,2,-2,x,+,m,=0,有实根，即原命题正确，所以其逆否命题正确；,“若,A,B,=,B,，则,A,B,”,的逆命题“若,A,B,，则,A,B,=,B,”,错误，,因为,A,B,A,B,=,A,.,所以选,C.,题型一：四种命题及其相互关系,1.(,原创,),写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假,.,(1),若 ，则,(2),若两条直线没有公共点，则这两直线平行,.,(1),逆命题：若 ，则 ；,(,假命题,),否命题：若 ，则 ；,(,假命题,),逆否命题：若 ，则,.(,真命题,),(2),逆命题：若两直线平行，则这两条直线没有公共点；,(,真命题,),否命题：若两条直线有公共点，则这两直线不平行；,(,真命题,),逆否命题：若两直线不平行，则这两条直线有公共点,.(,假命题,),点评：,对某一个命题的条件与结论作相应变换：“互换”或“否定”，得到相应的命题,.,判断一个命题是真命题一般需要证明，而判断一个命题是假命题还可通过举反例的方法，另外还可以根据命题与它的逆否命题的等价性来判断其真假,.,命题“若,a,b,，则,a,-8,b,-8”,的否命题是,(),A.,若,a,b,，则,a,-8,b,-8,B.,若,a,-8,b,-8,，则,a,b,C.,若,a,b,，则,a,-8,b,-8,D.,若,a,-8,b,-8,，则,a,b,否命题即是将原命题的条件与结论都否定的命题,.,故选,C.,C,题型二：复合命题的真假判断的应用,2.,已知,m,R,，,设命题,p,：函数,f,(,x,)=,x,2,-,ax,-2,与,x,轴交于,A(,x,1,0),B(,x,2,0),两点，且不等式,|,x,1,-,x,2,|,m,2,-5,m,-3|,对任意实数,a,-1,1,恒成立；,命题,q,：的子集只有一个,.,求使“,p,且,q,”,为假，“,p,或,q,”,为真的实数,m,的取值范围,.,函数,f,(,x,)=,x,2,-,ax,-2,与,x,轴交于,A,(,x,1,0),B,(,x,2,0),两点，,所以,x,1,、,x,2,是方程,x,2,-,ax,-2=0,的两个根，,则,x,1,+,x,2,=,a,x,1,x,2,=-2.,所以,当,a,-1,1,时，,a,2,+8,的最大值是,9,，即,|,x,1,-,x,2,|3.,由题意，不等式,|,x,1,-,x,2,|,m,2,-5,m,-3|,对任意实数,a,-1,1,恒成立,|,m,2,-5,m,-3|3,m,-1,或,0,m,5,或,m,6,，,所以命题,p,：,m,|,m,-1,或,0,m,5,或,m,6,；,x,R|3,x,2,+2,mx,+,m,+0,的子集只有一个,x,R|3,x,2,+2,mx,+,m,+0,为空集,3,x,2,+2,mx,+,m,+0,无解,3,x,2,+2,mx,+,m,+0,恒成立,=4,m,2,-12(,m,+)0 -1,m,4,所以命题,q,：,m,|-1,m,4,，,又“,p,且,q,”,为假，“,p,或,q,”,为真,p,、,q,必一真一假,.,画数轴图可得实数,m,的范围是,m,|,m,-1,或,-1,m,0,或,4,m,5,或,m,6.,点评：,要判断复合命题的真假，应先判断各简单命题的真假，而判断各简单命题的真假，需综合运用各知识,.,给出下列两个命题，,p,:,负数的平方是正数；,q,:,方程,x,2,-,x,+1=0,有实根，则下列哪个复合命题是真命题,(),A.,p,或,q,B.,p,且,q,C.,p,或,q,D.,p,且,q,因为,p,是真命题，,q,为假命题，所以,p,或,q,为真命题，故选,C.,C,题型三：反证法的运用,3.,已知函数,f,(,x,),是,(-,，,+),上的增函数，,a,，,b,R,，对命题“若,a,+,b,0,，则,f,(,a,)+,f,(,b,),f,(-,a,)+,f,(-,b,)”.,(1),写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；,(2),写出其逆否命题，并证明你的结论,.,(1),逆命题：已知函数,f,(,x,),是,(-,，,+),上的增函数，,a,，,b,R.“,若,f,(,a,)+,f,(,b,),f,(-,a,)+,f,(-,b,),，则,a,+,b,0”.,证明：假设,a,+,b,0,，则,a,-,b,，,b,-,a,，,因为,f,(,x,),是,(-,，,+),上的增函数，,则,f,(,a,),f,(-,b,),，,f,(,b,),f,(-,a,),，,所以,f,(,a,)+,f,(,b,),f,(-,a,)+,f,(-,b,),，与条件矛盾，所以命题为真,.,(2),逆否命题：若,f,(,a,)+,f,(,b,),f,(-,a,)+,f,(-,b,),，则,a,+,b,0.,下面用反证法给出证明：,假设,a,+,b,0,，则,a,-,b,且,b,-,a,;,又,f,(,x,),为增函数，所以,f,(,a,),f,(-,b,),，,f,(,b,),f,(-,a,);,两式相加，得,f,(,a,)+,f,(,b,),f,(-,a,)+,f,(-,b,),，,这与题设条件,f,(,a,)+,f,(,b,),f,(-,a,)+,f,(-,b,),矛盾，故假设不成立,.,所以,a,+,b,0.,点评：,反证法证题，其根据是原命题与它的逆否命题等价,.,其一般步骤是：,反设：作出与求证结论相反的假设；,归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；,结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立,.,值得注意的是：反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法,.,已知下列三个方程：,x,2,+4,ax,-4,a,+3=0,，,x,2,+(,a,-1),x,+,a,2,=0,，,x,2,+2,ax,-2,a,=0,至少有一个方程有实根，,则实数,a,的取值范围是,.,若三个方程均无实根，则,16,a,2,-4(3-4,a,),0,(,a,-1),2,-4,a,2,0,4,a,2,+8,a,0,，解得,故三个方程至少有一个方程有实根的实数,a,的取值范围为,a,|,a,-1,，或,a,，,故填,(-,，,-1,，,+).,题型 命题中的逻辑推理,已知,c,0,，设,p,:,函数,y,=,cx,在,R,上单调递减，,q,:,不等式,x,+|,x,-2c|,1,的解集为,R.,如果,p,和,q,有且仅有一个正确，求,c,的取值范围,.,参考题,函数,y,=,c,x,在,R,上单调递减,0,c,1.,不等式,x,+|,x,-2,c,|,1,的解集为,R,函数,y,=,x,+|,x,-2,c,|,在,R,上恒大于,1.,因为,x,+|,x,-2,c,|=2,x,-2,c,(,x,2,c,),2,c,(,x,2,c,),，,所以函数,y,=,x,+|,x,-2,c,|,在,R,上的最小值为,2,c,.,所以不等式,x,+|,x,-2,c,|,1,的解集为,R2,c,1,若,