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第四讲,数列,求和及数列的综合应用,第六章,数,列,第四讲 数列求和及数列的综合应用第六章数列,考法帮,解题能力提升,考法,1,数列,求和,考法,2,等差,、等比数列的综合问题,考,法,3,数列,与其他知识,综合,考,法,4,数列的实际应用,考法帮解题能力提升,高分帮,“,双一流,”,名校冲刺,提素养 数学文化,数学文化,数列与数学文化,高分帮 “双一流”名校冲刺提素养 数学文化数学文化,考情解读,考点内容,课标,要求,考题取样,情境,载体,对应,考法,预测,热度,核心,素养,1,.,数列求和,掌握,2020,山东,T18,探索创新,考法,1,数学运算,2,.,等差、等比数列的综合应用,掌握,2020,江苏,T11,探索创新,考法,2,逻辑推理,数学运算,3,.,数列的综合应用,掌握,2017,全国,T12,课程学习,考法,3,逻辑推理,数学运算,考情解读考点内容课标考题取样情境对应预测核心1.数列求和,考情解读,命题分,析预测,从,近几年的高考情况来看,本讲是高考的热点,其中等差、等比数列的通项与求和,数列与函数、不等式的综合,以数学文化为背景的数列题是高考命题的热点,多以解答题的形式呈现,难度中等,.,在,2022,年的高考备考中,既要注重常规考法,也要注重数列与其他知识的综合创新,对于,2020,年的高考中出现的结构不良试题,复习备考的过程中也要注意训练,.,考情解读命题分,考法,1,数列求和,考法,2,等差、等比数列的综合问题,考法,3,数列与其他知识综合,考法,4,数列的实际应用,考法帮,解题能力提升,考法1 数列求和考法帮解题能力提升,考,法,1,等比数列求和,考法1 等比数列求和,考,法,1,等比数列求和,考法1 等比数列求和,考,法,1,等比数列求和,考法1 等比数列求和,考,法,1,等比数列求和,考法1 等比数列求和,考,法,1,等比数列求和,考法1 等比数列求和,考,法,1,等比数列求和,命题角度,2,用错位相减法求和,示例,2,2020,全国卷,17,12,分,设,a,n,是公比不为,1,的等比数列,a,1,为,a,2,a,3,的等差中项,.,(1),求,a,n,的公比,;,(2),若,a,1,=1,求数列,na,n,的前,n,项和,.,解析,(1),设,a,n,的公比为,q,(,q,1),由题设得,2,a,1,=,a,2,+,a,3,即,2,a,1,=,a,1,q,+,a,1,q,2,.,所以,q,2,+,q,-2=0,解得,q,=-2,.,故,a,n,的公比为,-2,.,考法1 等比数列求和命题角度2用错位相减法求和,考,法,1,等比数列求和,考法1 等比数列求和,考,法,1,等比数列求和,方法技巧,1,.,用错位相减法求和的策略和技巧,(1),适用的数列类型,:,a,n,b,n,其中数列,a,n,是公差为,d,的等差数列,b,n,是公比为,q,(,q,1),的等比数列,.,(2),求解思路,:,设,S,n,=,a,1,b,1,+,a,2,b,2,+,a,n,b,n,则,qS,n,=,a,1,b,2,+,a,2,b,3,+,a,n,-1,b,n,+,a,n,b,n,+1,-,得,(1-,q,),S,n,=,a,1,b,1,+,d,(,b,2,+,b,3,+,b,n,)-,a,n,b,n,+1,进而,可利用公式法求和,.,考法1 等比数列求和方法技巧,考,法,1,等比数列求和,2,.,注意解题,“3,关键,”,(1),要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形,.,(2),在写出,“,S,n,”,与,“,qS,n,”,的表达式时应特别注意将两式,“,错项对齐,”,以便下一步准确写出,“,S,n,-,qS,n,”,的表达式,.,(3),在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比,q,=1,和,q,1,两种情况求解,.,3,.,谨防解题,“2,失误,”,(1),两式相减时最后一项忘记变号,.,(2),对相减后的和式的结构认识模糊,错把中间的,(,n,-1),项和当作,n,项和,.,考法1 等比数列求和2.注意解题“3关键”,考,法,1,等比数列求和,考法1 等比数列求和,考,法,1,等比数列求和,考法1 等比数列求和,考,法,1,等比数列求和,方法技巧,1,.,利用裂项相消法求和的基本,步骤,注意,利用裂项相消法求和时,既要注意检验裂项前后是否等价,又要注意求和时正负项相消后消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,.,考法1 等比数列求和方法技巧,考,法,1,等比数列求和,2,.,常见数列的裂项方法,数列,(,n,为正整数,),裂项方法,考法1 等比数列求和2.常见数列的裂项方法数列(,考,法,1,等比数列求和,考法1 等比数列求和,考,法,1,等比数列求和,考法1 等比数列求和,考,法,1,等比数列求和,考法1 等比数列求和,考,法,1,等比数列求和,方法,技巧,利用,倒序相加法求和的解题技巧,已知数列的特征是,“,与首末两端等距离的两项之和相等,(,或等于同一常数,)”,可用倒序相加法求和,.,解题时先把数列的前,n,项和表示出来,再把数列求和的式子倒过来写,然后将两个式子相加,即可求出该数列的前,n,项和的,2,倍,最后求出该数列的前,n,项和,.,考法1 等比数列求和方法技巧,考,法,1,等比数列求和,考法1 等比数列求和,考,法,1,等比数列求和,考法1 等比数列求和,考,法,1,等比数列求和,考法1 等比数列求和,考,法,1,等比数列求和,方法技巧,用并项求和法求数列的前,n,项和一般是指把数列的一些项合并组成我们熟悉的等差数列或等比数列来求和,.,可用并项求和法的常见类型,:,一是数列的通项公式中含有绝对值符号,;,二是数列的通项公式中含有符号因子,“(-1),n,”,如,S,n,=100,2,-99,2,+98,2,-97,2,+2,2,-1,2,=(100+99)+(98+97)+(2+1,)=,5,050,可,采用两项合并求解,;,三是数列,a,n,是周期数列,.,考法1 等比数列求和方法技巧用并项求和法求数列,考,法,2,等差,、等比数列的综合问题,示例,6,数列,a,n,的前,n,项和记为,S,n,a,1,=1,a,n,+1,=2,S,n,+1(,n,1),.,(1),求,a,n,的通项公式,;,(2),等差数列,b,n,的各项为正,其前,n,项和为,T,n,且,T,3,=15,又,a,1,+,b,1,a,2,+,b,2,a,3,+,b,3,成等比数列,求,T,n,.,思维导引,(1),根据已知的递推关系求,a,n,的通项公式,;(2),根据等比关系列方程求公差,则前,n,项和,T,n,易求,.,.,考法2 等差、等比数列的综合问题示例6 数列an,考,法,2,等差,、等比数列的综合问题,考法2 等差、等比数列的综合问题,考,法,2,等差,、等比数列的综合问题,考法2 等差、等比数列的综合问题,考,法,3,数列,与其他知识综合,命题角度,1,数列与函数,综合,示例,7,2020,大庆二模,设函数,f,(,x,),的定义域为,R,满足,f,(,x,+1)=2,f,(,x,),且当,x,0,1),时,f,(,x,)=sin,x.,当,x,0,+),时,将函数,f,(,x,),的极大值点从小到大依次记为,a,1,a,2,a,3,a,n,并记相应的极大值为,b,1,b,2,b,3,b,n,则数列,a,n,+,b,n,的前,9,项和为,.,思维导引,正确,理解类周期函数所满足的关系式,f,(,x,+1)=2,f,(,x,),的意义,求出,x,1,2),时,f,(,x,),的解析式,从而推出,x,n,-1,n,),时,f,(,x,),的解析式,进而得解,.,考法3 数列与其他知识综合命题角度1数列与函数综合,考,法,3,数列,与其他知识综合,考法3 数列与其他知识综合,考,法,3,数列,与其他知识综合,考法3 数列与其他知识综合,考,法,3,数列,与其他知识综合,方法技巧,数列,与函数的综合问题的解题策略,(1),已知函数条件,解决数列问题,一般利用函数的性质、图象等进行研究,.,(2),已知数列条件,解决函数问题,一般要充分利用数列的有关公式对式子化简变形,.,(3),解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解,.,注意,数列,是自变量为正整数的特殊函数,.,考法3 数列与其他知识综合方法技巧,考,法,3,数列,与其他知识综合,考法3 数列与其他知识综合,考,法,3,数列,与其他知识综合,考法3 数列与其他知识综合,考,法,3,数列,与其他知识综合,方法技巧,1,.,数列与不等式的综合问题的解题策略,(1),判断数列问题中的一些不等关系,可以利用数列的单调性或者是借助数列对应的函数的单调性求解,.,(2),对于与数列有关的不等式的证明问题,则要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等,有时需构造函数,利用函数的单调性,最值来证明,.,考法3 数列与其他知识综合方法技巧,考,法,3,数列,与其他知识综合,考法3 数列与其他知识综合,考,法,3,数列,与其他知识综合,考法3 数列与其他知识综合,考,法,4,数列,的实际应用,示例,9,实施,“,二孩,”,政策后,专家估计某地区人口总数将发生如下变化,:,从,2021,年开始到,2030,年,每年人口总数比上一年增加,0,.,5,万人,从,2031,年开始到,2040,年,每年人口总数为上一年的,99,%.,已知该地区,2020,年人口总数为,45,万,.,(1),求实施,“,二孩,”,政策后第,n,年的人口总数,a,n,(,单位,:,万人,),的表达式,(,记,2021,年为第一年,);,(2),若,“,二孩,”,政策实施后,2021,年到,2040,年人口平均值超过,49,万,则需调整政策,否则继续实施,问到,2040,年结束后是否需要调整政策,?(,参考数据,:0,.,99,10,0,.,9,),考法4 数列的实际应用示例9 实施“二孩”政策后,考,法,4,数列,的实际应用,考法4 数列的实际应用,考,法,4,数列,的实际应用,考法4 数列的实际应用,考,法,4,数列,的实际应用,考法4 数列的实际应用,考,法,4,数列,的实际应用,方法,技巧,1,.,数列在实际应用中的常见模型,(1),等差模型,:,如果增加,(,或减少,),的量是一个固定的数,则该模型是等差模型,这个固定的数就是公差,.,(2),等比模型,:,如果后一个量与前一个量的比是一个固定的非零常数,则该模型是等比模型,这个固定的数就是公比,.,(3),递推数列模型,:,如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化,则应考虑考查的是第,n,项,a,n,与第,(,n,+1),项,a,n,+1,(,或者相邻三项等,),之间的递推关系还是前,n,项和,S,n,与前,(,n,+1),项和,S,n,+1,之间的递推关系,.,考法4 数列的实际应用方法技巧,考,法,4,数列,的实际应用,2,.,解答数列实际应用题的步骤,(1),审题,:,仔细阅读题目,认真理解题意,.,(2),建模,:,将已知条件翻译成数列语言,将实际问题转化成数学问题,分清数列是等差数列、等比数列,还是递推数列,是求通项还是求前,n,项和,.,(3),求解,:,求出该问题的数学解,.,(4),还原,:,将所求结果还原到实际问题中,.,考法4 数列的实际应用2.解答数列实际应用题的步骤,高分帮,“双一流”名校冲刺,提,素养 数学文化,数学文化,数列与数学文化,高分帮“双一流”名校冲刺,数学文化 数列,与数学文化,数学文化 数列与数学文化,数学文化 数列,与数学文化,数学文化 数列与数学文化,数学文化 数列,与数学文化,素养探,源,方法,技巧,解决,数列与数学文化相交汇问题的关键,核心素养,考查途径,素养水平,数学建模,从情境中抽象出等比数列模型,.,二,读懂题意,会,“,脱去,”,数学文化的背景,提取关键信息,构造模型,由题意
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