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根底知识,一、单调性定义,1单调性定义：给定区间D上的函数f(x)，假设对于 D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么f(x)为区间D上的增函数对于 D，当x1,2证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入手,(1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是：,；,；,(2)设函数yf(x)在某区间内可导,如果f(x)0，那么f(x)为增函数；如果f(x)0，那么f(x)为减函数,任取,x,1、,x,2,D,，且,x,1,二、单调性的有关结论,1假设f(x)，g(x)均为增(减)函数，那么f(x)g(x),函数,2假设f(x)为增(减)函数，那么f(x)为 函数,3互为反函数的两个函数有 的单调性,4yfg(x)是定义在M上的函数，假设f(x)与g(x)的单调性相同，那么其复合函数fg(x)为 ；假设f(x)与g(x)的单调性相反，那么其复合函数fg(x)为 ,5奇函数在其对称区间上的单调性 ；偶函数在其对称区间上的单调性 ,仍为增,(减),减(增),相同,增函数,减函数,相同,相反,三、函数单调性的应用有：,(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小,(2)求某些函数的值域或最值,(3)解证不等式,(4)作函数图象,易错知识,一、不理解函数单调性概念而失误,1函数f(x)的单调减区间为_,答案：(，0)和(0，),2f(x)为偶函数，在(0，)为减函数，假设f()0f()，那么方程f(x)0的根的个数是_,答案：2,二、求函数的单调性时无视函数定义域而失误,3函数ylog0.7(x23x2)的单调性为_,答案：在(，1)上为增函数，在(2，)上为减函数,三、函数与方程思想应用失误,4假设 那么a，b，c的大小关系为_,答案：cab,解题思路：方法一：,方法二：构造函数,f,(,x,)(,x,0)，,y,.,令,y,0，ln,x,1，,x,e.,f,(,x,)在(e，)上是减函数，在(0，e)上是增函数,解法一：,a,.,543e，,f,(5),f,(4),f,(3),b,a,c,.,解法二：由,y,在(e，)上为减函数，,又e35，,b,c,.,a,c,(6,a,6,b,)(ln8ln9)0，,a,b,.,a,c,(10,a,10,b,)(ln32ln25)0，,a,c,，故,b,a,c,.,错因分析：误区1：解题思路不清，找不到解题方法，不会构造函数f(x)(x0)；,误区2：能构造出函数，判断出函数单调性，但2、3、5不在一个单调区间，而a 这一巧变学生很难过渡解法二中比较a、b，a、c的技巧，在于系数找最小公倍数,启示：思想方法是数学中考查的一个重点，方法灵活多变，平时学生注意多积累,回归教材,1以下函数中，在区间(0,2)上是增函数的是(),Ayx1By,Cyx24x5 Dy,解析：A是减函数，B中y2x(x0),由二次函数的图象可知x(0,2)上是增函数，C中y(x2)21在x(0,2)上是减函数，D是反比例函数是减函数,答案：B,2(教材P1601题改编)函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，那么(),Ak Bk,Ck Dk,解析：xR，y(2k1)xb是减函数，,2k10，得k .,答案：D,3(教材P602题改编)反比例函数y .假设k0，那么函数的递减区间是_假设k0，那么函数的递增区间是_,答案：(，0)，(0，)(，0)，(0，),4(2021华东师大附中)假设函数ymx2x5在2，)上是增函数，那么m的取值范围是_,解析：根据题意可得：当m0，yx5在(2，)上是增函数；当m0时，且 2，解得：0m .综上所述，m的取值范围是0m .,答案：0m,5函数,f,(,x,)log,5,(,x,2,2,x,8)的增区间是_；减区间是_,答案：,(4，)(，2),【例1】函数f(x)log2 ，求函数f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性,解析,(1),x,须满足,所以函数,f,(,x,)的定义域为(1,0)(0,1),(2)因为函数,f,(,x,)的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意,x,，有,研究f(x)在(0,1)内的单调性，任取x1、x2(0,1)，且设x10，即,f,(,x,)在(0,1)内单调递减,由于,f,(,x,)是奇函数，所以,f,(,x,)在(1,0)内单调递减,总结评述由于函数f(x)是奇函数，只要判断其在(0,1)上的单调性便可知道它在对称区间(1,0)上的单调性，故在判断其单调性时，首先在(0,1)上任取x1、x2，否那么，假设直接在(1,0)(0,1)上任取x1x2，那么f(x1)f(x2)变形后的符号便不能判断综合利用函数的单调性与奇偶性是解决此题的关键,判断以下函数的单调性并证明,(1)f(x)，x(1，)；,(2)f(x)x22x1，x1，)；,(3)f(x)，x1，),命题意图：先判断单调性，再用单调性的定义证明(1)采用通分进行变形，(2)采用因式分解进行变形，(3)采用分子有理化的方式进行变形,解析：(1)函数f(x)在(1，)上为减函数,利用定义证明如下：,任取x1、x2(1，)，且1x1x2，,那么有x1x2,x,1,1，,x,2,x,1,1，,x,2,x,1,0，,x,2,x,1,2，,x,2,x,1,20，,f,(,x,1,),f,(,x,2,)(,x,2,x,1,)(,x,2,x,1,2)0，,即有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),故函数,f,(,x,),x,2,2,x,1在1，,)上为减函数,(3)函数f(x)在1，)上为增函数，,证明如下：,任取x1、x21，)且1x1x2，,那么有x1x21时f(x)0，,(1)判断函数f(x)在1，)上的单调性；,(2)在(1)的条件下解不等式f(x22x3)x21，那么x1x20，x1x211，所以f(x1x21)0.又f(x1x21)f(x1x2)f(1)2(x1x2)1，所以f(x1)f(x2)f(x2(x1x2)f(x2)f(x1x2)2x2(x1x2)1f(x1x21)2(x1x2)(x21)0.所以f(x1)f(x2)，即f(x)在1，)上单调递增,(2)令y1，那么f(x1)f(x)12x，所以f(x1)f(x)2x1.所以f(2)f(1)3，f(3)f(2)5，f(4)f(3)7，f(n)f(n1)2(n1)12n1，上述等式两边分别相加得f(n)f(1)357(2n1)n21，又因为f(1)0，所以f(n)n21，而当n21120时，n11，所以不等式f(x22x3)120等价于f(x22x3)f(11)，又因为x22x3(x1)222.所以不等式又等价于x22x311，所以2x4.即不等式f(x22x3)120的解集为x|2x1时，f(x)0，且f(xy)f(x)f(y),(1)求f(1)；,(2)证明f(x)在定义域上是增函数；,(3)如果f()1，求满足不等式f(x)f()2的x的取值范围,分析：,(1)的求解是容易的；对于(2)，应利用单调性定义来证明，其中应注意,f,(,x,y,),f,(,x,),f,(,y,)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及,f,(,x,y,),f,(,x,),f,(,y,)进行适当配凑，将所给不等式化为,f,g,(,x,),f,(,a,)的形式，再利用,f,(,x,)的单调性来求解,解析：,(1)令,x,y,1，得,f,(1)2,f,(1)，故,f,(1)0.,总结评述：此题中的函数是抽象函数，涉及了函数在某点处的值、函数单调性的证明、不等式的求解在此题的求解中，一个典型的方法技巧是根据所给式子f(xy)f(x)f(y)进行适当的赋值或配凑这时该式及由该式推出的f()f(x)实际上已处于公式的地位，在求解中必须依此为依据,1单调性首先要求函数的定义域，单调区间是定义域的子区间,2,单调性的定义中,x,1,，,x,2,要有任意性，且不能用两个特殊值的大小判断函数在区间上的单调性例如：对函数,f,(,x,)，由于,f,(1),f,(2)，所以函数是单调递减函数这是错误的说法其实函数,f,(,x,)在(，0)上是单调递增，在(0，)上是单调递增,3单调区间不能用并集表示因为两个区间的并集，并不一定是一个区间,4,重要性质：,(1)注意函数,y,f,(,x,)与,y,kf,(,x,)的单调性与,k,(,k,0)的相关性,(2)注意函数,y,f,(,x,)与,y,的单调性间的关系,
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