高数微积分泰勒公式

几个初等函数的,Maclaulin,公式,小结 思考题,泰勒,(Taylor),（,英）,1685-1731,其它应用,3.3,泰勒,(,Taylor,),公式,Taylor,公式的建立,简单,的,多项式函数,特点,(1),易计算,函数值,;,(2),导数与积分仍为,多项式,;,(3),多项式由它的系数完全确定,又由它在一点的函数值及,导数值,确定,.,而其系数,用怎样的多项式去逼近给定的函数,?,误差又如何呢,?,一、,泰勒公式的建立,熟悉,的函数来近似代替复杂函数,.,应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,回忆微分,一次多项式,（如下图）,如,以直代曲,需要解决的问题,如何提高精度,?,如何估计误差,?,问题,(1),系数怎么定?,(2),误差,(,如何估计,),表达式是什么,?,不足,1.,精确度不高；,2.,误差不能定量的估计,.,希望,一次多项式,用适当的,高次多项式,n,n,n,x,x,a,x,x,a,x,x,a,a,x,P,),(,),(,),(,),(,0,2,0,2,0,1,0,-,+,+,-,+,-,+,=,L,),(,x,f,猜想,2.,若有相同的切线,3.,若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.,若在 点相交,1.,n,次多项式系数的确定,得,假设,同理,代入,中得,n,n,n,x,x,a,x,x,a,x,x,a,a,x,P,),(,),(,),(,),(,0,2,0,2,0,1,0,-,+,+,-,+,-,+,=,L,称为,f,(,x,)的,泰勒多项式来逼近,并估计它的误差,.,下面将证明确实可以用,函数,泰勒多项式,.,泰勒,(,Taylor,),中值定理,其中,余项,2,.,泰勒,(Taylor),中值定理,多项式,),1,(,),(,),(,),(,0,阶导数,内有,在,若,+,n,b,a,x,x,f,),(,时,则当,b,a,x,次,的一个,可表为,n,x,x,x,f,),(,),(,0,-,:,),(,之和,与一个余项,x,R,n,(,书上第,141,页定理,3.7),注,泰勒公式就是拉格朗日中值公式,.,分析,即证,也即证,其中,),(,),(,!,),(,0,0,),(,x,R,x,x,n,x,f,n,n,n,+,-,+,+,L,证,令,由要求,柯西定理,柯西定理,用,1,次,用,2,次,如此下去,得,可得,即,用,n+,1,次柯西定理,)!,1,(,),(,),(,),(,),1,(,),1,(,),1,(,+,=,=,+,+,+,n,x,x,f,x,R,n,n,n,n,j,拉格朗日型余项,带有拉格朗日型余项,.,次近似多项式,n,Peano,型,余项,当对余项要求不高时,带有,Peano,型,余项,可用,Peano,型,余项,1858-1932,),皮亚诺,(,Peano,G,.,(,意,),),(,时,若,b,a,x,M,x,f,n,+,|,),(,|,),1,(,书上,P209,定理,3.8,对某个固定的,n,注,1.,泰勒公式就是拉格朗日中值公式,.,2.,在泰勒公式中,这时的泰勒公式,即,按,x,的幂,(,在零点,),展开的泰勒公式称为,:,n,阶泰勒公式,麦克劳林,(,Maclaurin,C,.(,英,)1698-1746),公式,麦克劳林,(,Maclaurin,),公式,近似公式,误差估计式为,带有,Lagrange,型余项,带有,Peano,型,余项,解,代入上公式,得,于是有,的近似表达公式,二、几个初等函数的,Maclaulin,公式,例,麦克劳林公式,.,麦克劳林,(,Maclaurin,),公式,有误差估计式,得到,其误差,其误差,解,例,因为,所以,误差为,泰勒多项式逼近,类似地,有,解,练习,一阶和三阶,泰勒公式及相应的拉格朗日型余项,.,的一,阶,泰勒公式是,其中,三,阶泰勒公式是,常用函数的麦克劳林公式,要熟记,!,带有,Peano,型余项,例,解,用间接展开的方法较简便,.,两端同乘,x,得,解,三、其它应用,因为分母是,4,阶无穷小,所以只要将函数展开到,4,阶无穷小的项就足以定出所给的极限了,.,常用函数的泰勒展开求,例,型未定式,例,是,x,的几阶无穷小,?,解,因,故由于,有,显然,它是,x,的,4,阶无穷小,.,例,.,求,解,:,由于,用洛必塔法则不方便,!,用泰勒公式将分子展到,项,例,.,证明,证,:,像这类,估值问题,常用泰勒公式,.,证,例,分析,利用泰勒公式可以证明某些命题及不等式,.,带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式,得,(1),(2),即,故,四、小结,多项式局部逼近,.,泰勒,(,Taylor,),公式在近似计算中的应用,.,泰勒,(,Taylor,),公式的数学思想,熟记常用函数的麦克劳林公式,;,思考题,1,2002,年考研数学一,6,分,设函数,的某邻域内具有一阶连续,导数,是比,h,高阶的无穷小,试确定,a,b,的值,.,解,所以,因此当,有,此题亦可不用,Taylor,公式。,的某邻域内具有一阶连续,导数,思考题,2,利用泰勒公式求极限,思考题解答,注：本题亦可用洛必达法则,次来求极限,须解决问题的类型,:,(1),已知,x,和误差界,要求确定项数,n,;,(2),已知项数,n,和,x,计算近似值并估计误差,;,(3),已知项数,n,和误差界,确定公式中,x,的,五、近似计算与误差估计,适用范围,.,例,解,五、近似计算与误差估计,满足要求,.,计算 的近似值,使其精确到,0.005,试确定 的适用范围,.,近似公式的误差,例,用近似公式,解,已知项数,n,和误差界,确定公式中,x,的,适用范围,.,令,解得,即,由给定的近似公式计算的结果能准确到,0.005,.,