121任意角的三角函数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.2.1 任意角的三角函数(1),在初中我们是如何定义锐角三角函数的？,复习回顾,O,a,b,M,P,c,O,a,b,M,P,y,x,1.,在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？,新课引入,y,x,1.,在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？,o,如果改变点在终边上的位置，,这,三个比值会改变,吗,？,M,O,y,x,P(a,b),诱思探究,能否通过,|op|,取特殊值将表达式简化呢？,以原点为圆心,以单位长度为半径的圆叫做单位圆,.,2.,任意角的三角函数定义,设,是一个任意角，它的终边与单位圆交于点,那么,:,（,1,）叫做 的,正弦,，记作 ，即 ；,（,2,）叫做 的,余弦,，记作 ，即 ；,（,3,）叫做 的,正切,，记作 ，即,。,所以，正弦，余弦，正切都是以,角为自变量,，,以,单位圆,上点的,坐标或坐标的比值,为函数值的函数,，,我们将他们称为,三角函数,.,使比值有意义的角的集合,即为三角函数的定义域,.,的终边,例,1,：如图已知角,的终边与单位圆的交点是，求角,的正弦、余弦和正切值。,解：根据任意角的三角函数定义：,O,x,y,点评：若已知角,的终边与单位圆的交点坐标，,则可,直接利用,定义求三角函数值。,实例剖析,例,2,求 的正弦、余弦和正切值,.,解：在直角坐标系中，作,，易知,的终边与单位圆的交点坐标为,所以,点评：若已知角,的大小，可求出角,终边与单位圆的,交点,，然后再利用定义求三角函数值。,例,3,已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值,.,解,:,由已知可得,设角 的终边与单位圆交于 ，,分别过点 、作 轴的垂线 、,于是，,设角 是一个任意角，是终边上的任意一点，,点 与原点的距离,那么 叫做 的正弦，即,叫做 的余弦，即,叫做 的正弦，即,任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的,终边上的位置无关,.,定义推广：,点评：已知角终边上异于单位圆上一点的坐标，求三角函数值，可根据三角形相似将问题化归到单位圆上，再由定义得解。,巩固提高,练习,1,：已知角,的终边经过点 ，,求角,的 正弦、余弦和正切值。,2.,利用三角函数的定义求 的三个三角函数值,于是,，,练习,3.,已知角 的终边过点 ，,求 的三个三角函数值,.,解：由已知可得：,提问：,分，两种情形讨论,求的三个三角函数值呢？,若将改为，,如何,已,知角的终边经过,，,求,的三个三角函数值,三角函数,定义域,值域,1,、三,角函数的定义域和值域,探究：,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,（）,探究：,口诀“一全正,二正弦，三正切,四余弦.”,2.,三角函数值在各象限的符号,例,3,求证：当且仅当下列不等式组成立时，,角 为第三象限角,.,反之也对。,证明：,因为式 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于,y,轴的非正半轴上；,又因为式 成立，所以角 的终边可能位于第一或第三象限,.,因为式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限,.,于是角 为第三象限角,.,反过来请同学们自己证明,.,下列各式为正号的是（）,A cos2 B cos2,sin2,C tan2cos2 D sin2tan2,C,2,若,lg(sin,tan),有意义，则是（）,A,第一象限角,B,第四象限角,C,第一象限角或第四象限角,D,第一或第四象限角或,x,轴的正半轴,C,3,已知,的终边过点,(3a-9,a+2),且,cos0,则,a,的取值范围是,。,-2a,3,例,2,（,1,）；（,2,）；（,3,）,求下列各角的三个三角函数值,三角函数的一种几何表示,利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线,当角的终边不在坐标轴上时，我们把，都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段由正弦、余弦、正切函数的定义有：,(x,y),x,y,o,(x,y),x,y,o,M,M,请你用几何中的方法表示三角函数,.,(x,y),x,y,o,x,A,怎样表示正切函数,?,T,(x,y),y,o,A,T,三 角 函 数 线,的终边,O,y,x,A,(1,0),P,M,T,的终边,y,x,A,(1,0),O,P,M,T,的终边,y,x,A,(1,0),O,P,M,T,的终边,y,x,A,(1,0),P,O,M,T,例,4,求证：当为锐角时，,例题,5,练习,2,3,cos,),(1,a,1.,内容总结：,任意角三角函数的概念,.,三角函数的定义域、值域及三角函数值在各象限的符号,.,运用了定义法、公式法、数形结合法解题,.,化归的思想，数形结合的思想,.,2.,方法总结：,3.,体现的数学思想：,归纳总结,