特征值和特征向量、矩阵的相似对角化课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 特征值和特征向量、,第四章,1,一 特征值与特征向量的概念,二 特征值和特征向量的求法,第一节 特征值与特征向量,三 特征值和特征向量的性质,一 特征值与特征向量的概念二 特征值和特征向量的求法第一,2,一、特征值与特征向量的概念,定义,为阶方阵，,为数，,为维非零向量，,若,则,称为,的,特征值,，,称为,的,特征向量,（）,注,并不一定唯一；,阶方阵,的特征值，就是使齐次线性方程组,特征向量，特征值问题只针对方阵；,有非零解的,值，即满足,的,都是,方阵,的特征值,一个特征向量只能属于一个特征值；,一个特征值有无穷个特征向量；,若,，则,一、特征值与特征向量的概念定义为阶方阵，为数，为维非,3,定义 设n阶方阵,则,称为方阵A的,特征多项式,.,定义,称以,为未知数的一元次方程,为,的,特征方程,称为,特征方程组,.,二、特征值与特征向量的求法,注：n阶方阵A的特征多项式为 的n次多项式，,n阶方阵A在复数范围内有n个特征值.,定义 设n阶方阵则称为方阵A的特征多项式.定义称以为未,4,例1,求矩阵,的特征值和特征向量.,求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤：,1.计算特征多项式,2.求出特征方程,的根,即为A的特征值,3.求方程组,的基础解系即为A的属于,特征值 的线性无关特征向量，基础解系的线性组合,即为全部特征向量.,例1求矩阵的特征值和特征向量.求n阶方阵A的特征值与特征向量,5,例2,求矩阵,的特征值和特征向量.,例3,求矩阵,的特征值和特征向量.,注：比较例2和例3的结果可得如下结论：,属于某一特征值的线性无关的特征向量可能不止一个.,例2求矩阵的特征值和特征向量.例3求矩阵的特征值和特征向量.,6,定理,设阶方阵的特征值为,则,证明,当是,的特征值时，,的特征多项,式可分解为,令,得,即,二、特征值和特征向量的性质,定理 一个n阶方阵与其转置矩阵有相同的特征值.,定理设阶方阵的特征值为则证明当是的特,7,证明,因为行列式,它的展开式中，主对角线上元素的乘积,是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至,多含个主对角线上的元素，,含的项只能在主对角线上元素的乘积项中,故有,比较，有,因此，特征多项式中,证明因为行列式它的展开式中，主对角线上元素的乘积是其中的一,8,定义,方阵,的主对角线上的元素之和称为方阵,的,迹,.,记为,推论,阶方阵,可逆,的个特征值全不为零.,若数,为可逆阵的,的特征值，则,则 为 的特征值,推论,则 为 的特征值,推论,则 为 的特征值,推论,则 为 的特征值,推论,特别,单位阵,的一个,特征值为,定理,定义方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的迹.记为推论,9,三、应用举例,、若,为可逆阵,的特征值，则,的一个特征值为（）,、证阶方阵,的满足，则,的特征值为,或,、三阶方阵,的三个特征值为、，则,（）,、求下列方阵的特征值与特征向量,三、应用举例、若为可逆阵的特征值，则的一个特征值为,10,四、特征向量的性质,定理,互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。,定理,互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征,向量并在一块，所得的向量组仍然,线性无关。,四、特征向量的性质定理互不相等的特征值所对应的特征向量线性无,11,一 相似矩阵的定义、性质,二 矩阵可相似对角化的条件,三 应用举例,第二节 矩阵相似对角化,一 相似矩阵的定义、性质二 矩阵可相似对角化的条件三,12,一、定义,定义,设,、,都是阶矩阵，若有可逆矩阵,，,使得,则称,是,的,相似矩阵,，或者说矩阵,与,相似,称为对,进行,相似变换,，,对,进行运算,可逆矩阵,称为把,变成,的,相似变换矩阵,记作：,二、性质,（1）反身性：,（2）对称性：,（3）传递性：,；,，则,；,，,，则,；,一、定义定义设、都是阶矩阵，若有可逆矩阵，使得则称,13,定理4.6,若阶矩阵,与,相似，则,推论,若阶矩阵,与对角矩阵,相似，,就是,的个特征值,则,（1）,（2）,与,有相同的特征多项式和特征值,（3）,（4）,定理4.6若阶矩阵与相似，则推论若阶矩阵与对角矩阵,14,若能寻得相似变换矩阵,使,对阶方阵,，,称之为,把方阵,对角化,三、可相似对角化的条件,定理4.6的推论说明，,如果阶矩阵,与对角矩阵,相,似，,那么，使得,的矩阵,又是怎样构成的呢？,则,的主对角线上的元素就是,的全部特征值,设存在,可逆，,使得,有,若能寻得相似变换矩阵使对阶方阵，称之为把方阵对角化,15,于是有,因为,可逆，,故,于是,是,的个线性,无,关的特征向量。,反之，,即,设,可逆，且,则,若,有个线性无关的特征向量,所以,即,与对角矩阵,相似,于是有因为可逆，故于是是的个线性无关的特征向量。反之，,16,定理4.7,阶矩阵,能与对角矩阵,相似,有个线性无关的特征向量,推论,如果阶矩阵,有个不同的特征值，则矩阵,注意,中的列向量,的排列顺序要与,的顺序一致,（1）,可相似对角化,（2）,是,的基础解系中的解向量，,因,的取法不是唯一的，,故,因此,也是不唯一的,（3）,所以如果不计,的排列顺序，,的根只有个（重根按重数计算）,又,是唯一的,则,定理4.7阶矩阵能与对角矩阵相似有个线性无关的特,17,例1,设,问x为何值时，矩阵A可相似对角化？,例2,设,求,例1设问x为何值时，矩阵A可相似对角化？例2设求,18,3.实对称矩阵的相似对角化,1.n元实向量的内积、施密特正交化方法、正交矩阵,2.实对称矩阵的特征值与特征向量的性质,第三节实对称矩阵的相似对角化,3.实对称矩阵的相似对角化1.n元实向量的内积、施密特正交化,19,一、,内积的定义与性质,1、定义,设维实向量,称实数,为向量,与,的,内积,，记作,注：,内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有,一、内积的定义与性质1、定义设维实向量称实数为向量与的,20,、性质,（1）对称性：,（2）线性性：,（3）正定性：,当且仅当,时,推广性质：,、性质（1）对称性：（2）线性性：（3）正定性：当且仅当时,21,、长度的概念,二、向量的长度与夹角,令,为维向量,的,长度,（,模,或,范数,）.,特别,长度为的向量称为,单位向量,.,定理4.10（Cauchy不等式）,任意两个n维实向量,恒有,等号成立当且仅当,线性相关,.,、长度的概念二、向量的长度与夹角令为维向量的长度（模或,22,（1）非负性：,（2）齐次性：,（3）三角不等式：,、性质,注,当,时，,由非零向量,得到单位向量,是,的单位向量.,称为把,单位化,或,标准化,.,的过程,（1）非负性：（2）齐次性：（3）三角不等式：、性质注当,23,、夹角,设,与,为维空间的两个非零向量，,与,的夹,角的余弦为,因此,与,的,夹角,为,例,解,练习,、夹角设与为维空间的两个非零向量，与的夹角的余弦,24,三、正交向量组及其求法,1、正交,当,，称,与,正交,，记作,注,若，则,与任何向量都正交.,对于非零向量,与,，,2、正交组,若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则,这个向量组称为,正交向量组,，简称,正交组,.,3、标准正交组,由单位向量组成的正交组称为,标准正交组,.,三、正交向量组及其求法1、正交当，称与正交，记作注 若,25,定理4.11,正交向量组必为线性无关组.,是标准正交向量组,例1 已知三元向量,试求一个非零向量,，,使,称为正交向量组.,定理4.11正交向量组必为线性无关组.是标准正交向量组例1,26,7、施密特（,Schmidt,）正交化法,1）正交化,令,将一组线性无关的向量组化为标准正交向量组.,7、施密特（Schmidt）正交化法1）正交化令将一组线性无,27,就得到一个标准正交向量组.,上述方法称为施密特,（,Schmidt,）,正交化法.,2）标准化,令,注,则,两两正交，且与,等价.,上述,方法中的两个向量组对任意的,与,都是等价的.,例2 用施密特正交化方法将如下向量组,化为标准正交向量组,.,就得到一个标准正交向量组.上述方法称为施密特（Schmidt,28,四、正交矩阵及其性质,1、定义,如果阶矩阵满足：,则称,为,正交矩阵,.,则,可表示为,若,按列分块表示为,亦即,其中,四、正交矩阵及其性质1、定义如果阶矩阵满足：则称为正交矩,29,的列（或行）向量组是标准正交组.,定理4.14 方阵A为正交矩阵的充要条件是,3、正交变换,若,为正交矩阵，则线性变换,=,称为,正交变换,.,正交变换后向量长度不变,内积不变,注,夹角不变,.,若A，B是正交矩阵，则,也是正交矩阵,.,的列（或行）向量组是标准正交组.定理4.14 方阵A为正,30,判断下列矩阵是否为正交矩阵.,判断下列矩阵是否为正交矩阵.,31,定理4.15,实对称矩阵的特征值为实数.,定理4.16,实对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交.,定理4.17,若阶实对称阵,的重,特征值对应的线性,无关的特征,向量恰有个（不证）,定理4.18,若为阶对称阵，则必有正交矩阵,，使得,六、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质,推论,实对称矩阵的特征向量是实向量.,定理4.15实对称矩阵的特征值为实数.定理4.16 实对,32,根据上述结论，利用正交矩阵可将实对称矩阵化,为对角矩阵，其具体步骤为：,将特征向量正交化;,3.,将特征向量单位化.,4.,2.,1.,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法,根据上述结论，利用正交矩阵可将实对称矩阵化将特征向量正交,33,例4,设矩阵,求一个正交矩阵P，使得,为对角阵。,例4设矩阵求一个正交矩阵P，使得为对角阵。,34,例5,设三阶对称矩阵A的特征值为1,2,3;矩阵A的属于,特征值1，2的特征向量分别为,（1）,A的属于特征值3的特征向量,。,（2）,求矩阵A,。,例5设三阶对称矩阵A的特征值为1,2,3;矩阵A的属于（1,35,