结构的稳定分析修改

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019/11/7,#,结构力学,II,第,11,章 结构的稳定分析,东南大学,-,结构力学课程组制作,工程中的,“,失稳,”现象,11.1,稳定问题的基本概念,11.1.1,三种不同性质的平衡,设体系受到微小干扰后偏离平衡状态，按照干扰撤销后体系的不同“表现”，体系平衡可分为三种：,稳定平衡,：干扰撤销后，体系能自动恢复原有平衡状态；,随遇平衡,(,中性平衡,),：干扰撤销后，体系不能自动恢复原有平衡状态，但能在新状态下保持平衡；,不稳定平衡,：干扰撤销后，体系不能自动地恢复原有平衡状态，也不能在新状态下保持平衡。,平衡状态对应着势能的驻值,势能增加,势能不变,势能减小,无论从哪个角度看，随遇平衡状态都是介于稳定平衡状态和不稳定平衡状态之间的一种过渡状态，或,临界状态,。,11.1,稳定问题的基本概念,11.1.1,三种不同性质的平衡,轴压,压弯,欧拉临界荷载,由材料力学知：,F,P,F,Pcr,：,轴压杆在受干扰后转入压弯状态，在干扰撤销后不但不能返回原来的状态，而且还将继续产生更大的弯曲变形，因此是,不稳定平衡状态；,F,P,=,F,Pcr,，,压杆在受干扰后转入压弯状态，在干扰撤销后仍将维持这个状态，因此是,随遇平衡状态。,11.1,稳定问题的基本概念,11.1.2,三类不同形式的失稳,失稳：,荷载达到某一数值时，体系由稳定平衡状态转变为不稳定状态。,分支点失稳,(,第一类失稳,),：,失稳前,(0,F,P,F,Pcr,),：,压杆保持直线状态，平衡是稳定的，在此阶段中无论荷载为何值均有,=0,，,F,P,-,曲线与竖轴重合，即图中的,OA,段,。,失稳后,(,F,P,F,Pcr,),：,压杆在理论上仍可保持直线状态，,=0,，,F,P,-,曲线达到,A,点后沿路径,1,继续上升。但这时平衡是不稳定的，任何微小干扰都可能使压杆弯曲变形,0,且,随荷载的增大而增大，,F,P,-,曲线沿图中的路径,2,即弧线,AB,前进。,结构变形在荷载达到临界值前后发生性质上的突变,理想或,完善体系,11.1,稳定问题的基本概念,11.1.2,三类不同形式的失稳,非完善体系,当荷载较小时（曲线的,OA,段），,随荷载的增大而非线性增长，当荷载达到某一个,临界值,F,Pcr,时，曲线出现一个,极值点,（图中,A,点），此时荷载不但不能继续增加，而且如果稍加干扰，即便减小荷载，杆件的挠度也仍要继续增长，如图中曲线的,AB,段所示。,极值点失稳,(,第二类失稳,),：,结构的变形在荷载达到临界值后,并不发生性质上的突变，只是原有变形的迅速增长。,11.1,稳定问题的基本概念,跳跃失稳的特点：,结构的变形在荷载达到临界值前后发生性质上的突变，并且在临界点处结构位移的变化是不连续的。由于跳跃失稳的,F,P,-,曲线在临界点之后理论上存在两条不同的路径，我们将它视为一种,特殊形式的分支点失稳。,由于结构的几何形状在失稳过程中发生激烈的改变，跳跃失稳必须严格加以避免。,11.1.2,三类不同形式的失稳,跳跃失稳,11.1,稳定问题的基本概念,11.1.3,两种不同精度的稳定理论,y,+,2,y,=0,M,(,x,)=,F,P,y,=-,EIy,EI,通解为：,y,=,C,1,sin,x,+,C,2,cos,x,其中,2,=,F,P,/,EI,边界条件,：,y,x,=,0,=,y,x,=,l,=,0,可得：,sin,l,=0,，,C,2,=0,F,Pcr,=,2,EI,/,l,2,小挠度理论,大挠度理论,对完善体系分支点失稳，两种理论得到的临界荷载一致。,11.2,用静力法求临界荷载,静力法,:,假定体系处于失稳的临界状态，列出平衡方程求解临界荷载。,能量法,:,临界状态的能量特征是体系的势能为驻值，据此求出临界荷载。,稳定自由度,在稳定计算中，一个体系产生弹性变形时，确定其变形状态所需的独立几何参数的数目，称为稳定自由度。,P,1,个自由度,P,P,2,个自由度,无限自由度,11.2,用静力法求临界荷载,例,11-1,图中所示结构由两根刚性杆组成，两个弹性支座的刚度系数分别为,k,1,=,k,，,k,2,=,0.5,k,。试用静力法求临界荷载。,2,个自由度,考虑杆件,AB,和,BC,对结点,B,的力矩,F,2,Pcr,-2,kl F,Pcr,+,0.5,k,2,l,2,=,0,或,特征方程,稳定方程,最小的为实际临界荷载,例,11-2,图示一压杆，抗弯刚度为,EI,，下端固定，上端弹性支座的刚度系数为,k,。试用静力法求临界荷载。,11.2,用静力法求临界荷载,无限自由度,F,Pcr,(,-,y,)-,k,(,l,-,x,)=,EIy,令,2,=,F,Pcr,/,EI,，,=,k,/,EI,，由上式可得,y,+,2,y,=,2,-,(,l,-,x,),y,=,C,1,sin,x,+,C,2,cos,x,+,1-,(,l,-,x,)/,2,微分方程通解；,边界条件：,y,x,=0,=,y,x,=0,=0,y,x,=,l,=,11.2,用静力法求临界荷载,无限自由度,tan,l,=,l,-,3,/,特征方程,稳定方程,令,l,=,u,tan,u,=,u,-,u,3,/(,l,3,),例,11-2,图示一压杆，抗弯刚度为,EI,，下端固定，上端弹性支座的刚度系数为,k,。试用静力法求临界荷载。,在,u,-,y,平面上作函数,y,=tan,u,和,y,=,u,-,u,3,/(,l,3,),的曲线，由两组曲线交点的最小值可求得临界荷载精确解。,11.2,用静力法求临界荷载,k,=,k,=0,(,F,Pcr,),min,例,11-2,图示一压杆，抗弯刚度为,EI,，下端固定，上端弹性支座的刚度系数为,k,。试用静力法求临界荷载。,F,P,l,F,P,k,三类弹簧支座的弹性压杆的稳定方程,F,P,l,11.2,用静力法求临界荷载,转动弹簧,11.2,用静力法求临界荷载,对于刚架结构，当结构中,仅有某一根杆件承受外部轴压荷载时,，可简化为带弹簧的弹性压杆计算：,F,P,l,F,P,简化,1,F,P,l,l,F,P,简化,反映其它杆件对受荷载杆件失稳弯曲的约束情况,F,P,l,F,P,k,简化,11.3,用能量法求临界荷载,临界状态的能量特征是,体系的势能为驻值,若以,U,表示体系的新状态相对于原平衡状态的,应变能,，以,W,表示荷载在体系从原有状态转到新状态的过程中,所作的功,，则,-,W,就是,荷载的势能,，因此,结构的总势能为,：,=,U,-,W,势能的驻值条件可以表达为：,=0,N,个自由度体系的变形曲线应为,N,个参数,(,y,i,),的函数，因此体系总势能也应为,N,个参数的函数,:,其展开式是,y,i,的线性方程组,(,方程系数中含,F,P,),，由系数矩阵行列式不为零，可列出特征方程，求出,P,的,n,个根，临界荷载则为最小的根。,11.3,用能量法求临界荷载,有限自由度的结构可用若干弹簧和刚性杆件组成的体系来表示。,结构几何形态的变化是通过刚性杆的移动、转动和弹簧的变形来实现的。,杆的转动引起,杆在原始轴线上的投影长度的变化,从而使荷载作功；,弹簧的变形引起应变能的改变,。,荷载所做的功为：,小挠度理论,11.3.1,用能量法求有限自由度体系的临界荷载,11.3,用能量法求临界荷载,11.3.1,用能量法求有限自由度体系的临界荷载,弹簧的应变能为：,荷载的势能为：,结构的总势能为,势能驻值,与静力法结果一致,11.3,用能量法求临界荷载,11.3.2,用能量法求无限自由度体系的临界荷载,将位移函数表示为有限个已知函数的线性组合，将,无限自由度体系化为有限自由度体系,。,i,(,x,),（,i,=1,2,，,n,）为,形状函数,：,满足位移边界条件,(,几何边界条件,),的已知函数；,c,i,（,i,=1,2,，,n,）为一组,相互独立的参数,1,）应变能,只考虑弯曲应变能,11.3.2,用能量法求无限自由度体系的临界荷载,11.3,用能量法求临界荷载,荷载的势能为：,2,）荷载的势能,11.3.2,用能量法求无限自由度体系的临界荷载,11.3,用能量法求临界荷载,3,）总势能,势能驻值,以上方法称为瑞利,-,里兹法。,如果,n,个,i,(,x,),的线性组合能给出与最小临界荷载相应的的位移函数，则瑞利,-,里兹法可得出最小临界荷载的准确值。在一般情况下，所选择的形状函数无论怎样组合也得不出与最小临界荷载相应的的位移函数，这就相当于,给结构引进了附加约束,，使它不可能发生这样的位移，这时用,瑞利,-,里兹法只能得出最小临界荷载的上限。,11.3.2,用能量法求无限自由度体系的临界荷载,11.3,用能量法求临界荷载,例,11-3,试用能量法求图,11.15,所示压杆的最小临界荷载。,形函数满足的位移边界条件：,(,y,),x,=0,=0,；,(,y,),x,=0,=0,抛物线,设失稳时的位移函数为：,y,=,c,1,x,2,=,i,(,x,),势能驻值,c,1,0,F,Pcr,=3,EI,/,l,2,11.3.2,用能量法求无限自由度体系的临界荷载,11.3,用能量法求临界荷载,例,11-3,试用能量法求图,11.15,所示压杆的最小临界荷载。,横向荷载下的变形曲线,设失稳时的位移函数为：,y,=,c,1,x,2,（,3,l,-,x,）,杆在自由端受横向集中力作用的变形曲线,势能驻值,c,1,0,F,P,cr,=2.,5,E,I,/,l,2,11.3.2,用能量法求无限自由度体系的临界荷载,11.3,用能量法求临界荷载,例,11-3,试用能量法求图,11.15,所示压杆的最小临界荷载。,三角函数曲线,势能驻值,c,1,0,最小临界荷载的准确值,三角函数是真实失稳形式,，因而能够得到,准确解,；,横向荷载下的变形曲线与真实的失稳形式十分接近，相应的最小,临界荷载误差只有,1.3%,；,抛物线与真实的失稳形式相去甚远,，如果将相应的荷载作为最小临界荷载的上限值，,误差高达,21.6%,。,11.3.2,用能量法求无限自由度体系的临界荷载,11.3,用能量法求临界荷载,例,11-4,图示一等厚度的变截面压杆，杆的横截面关于,z,轴的惯性矩随,x,变化的规律为：,已知杆失稳时在,xy,平面内发生弯曲，且变形曲线是对称的，试用能量法求最小临界荷载。,根据杆的位移边界条件,(,y,),x,=0,=(,y,),x,=,l,=0,以及变形曲线对称的特点,下面分别在级数中,仅取第一项和前两项,进行讨论，在积分计算中,考虑了对称的特点,。,11.3.2,用能量法求无限自由度体系的临界荷载,11.3,用能量法求临界荷载,势能驻值,理论解,误差约为,2.9,半波正弦曲线虽然对于简支等截面压杆是真实的失稳形式，对于变截面杆却不是,11.3.2,用能量法求无限自由度体系的临界荷载,11.3,用能量法求临界荷载,势能驻值,误差约为,0.5,