结构非线性分析的有限单元法分解课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1,5.1,非线性问题分类及求解,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,5.2,非线性问题求解方法,5.3,材料非线性,5.4,几何非线性,5.5,边界非线性,5.6,非线性弹性稳定性问题,5.7,非线性分析特点,5.8 ANSYS,非线性结构计算示例,5.9ANSYS,稳定性计算示例,15.1 非线性问题分类及求解 第五章 结构非线性分析的有限,2,5.1,非线性问题分类及求解,当材料是线弹性体，结构受到载荷作用时，其产生的位移和变形是微小的，不足以影响载荷的作用方向和受力特点。静力平衡方程表示为：,其基本方程的特点如下：,a,材料的应力与应变，即本构方程为线性关系。,b,结构应变与位移微小、即几何方程保持线性关系。,c,结构的平衡方程属于线性关系，且平衡方程建立于结构变形前，即结构原始状态的基础之上。,d,结构的边界（约束）条件为线性关系。,不同时满足上述条件的工程问题称为非线性问题。,5.1.1,非线性问题分类,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,25.1 非线性问题分类及求解 当材料是线弹性,3,习惯上将不满足条件,a,的称为材料非线性；不能够满足条件,b,、,c,的称为几何非线性；不满足条件,d,的称为边界非线性 。对于兼有材料非线性和几何非线性的问题称为混合非线性问题。对于上述非线性问题总可归结为两大类，即材料非线性和几何非线性。,非线性问题用有限单元法求解的步骤和线性问题基本相同，不过求解时需要多次反复迭代，基本三大步骤如下：,(1),单元分析,非线性问题与线性问题的单元刚度矩阵不同，仅为材料非线性时，使用材料的非线性物理（本构）关系。仅为几何非线性时，在计算应变位移转换矩阵,B,时，应该考虑位移的高阶微分的影响。同时，具有材料和几何非线性的问题，受到两种非线性特性的藕合作用。,5.1.2,非线性问题求解,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,3 习惯上将不满足条件a的称为材料非线性；不能,4,(2),整体刚度矩阵集成,整体刚度矩阵集成、平衡方程的建立以及约束处理，与线性问题求解相似。,(3),非线性平衡方程求解,对于几何非线性问题，平衡方程必须建立在变形后的位置，严格来讲是建立在结构的几何位置及变形状态上，简称为位形状态。因而，非线性问题的平衡方程表为,求解时，一般是将非线性问题转化成一系列线性化逼近的方法求之。即,求解的方法按照载荷的处理方式可分为全量法和增量法两大类。,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,4(2)整体刚度矩阵集成 整体刚度矩阵集成,5,图,10-1,位形描述示意图,5.2.1,直接迭代法,将平衡方程写成如下迭代格式,具体迭代过程简述如下,取初始值,5.2,非线性问题求解方法,返回章节目录,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,5图10-1 位形描述示意图 5.2.1 直接迭代法将平衡方,6,则得到,得到改进解,重复上述过程，总结得出近似递推公式,以一维非线性问题为例，,直接迭代法的几何意义见图,10-2,。,图,10-2,直接迭代法的几何意义,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,6则得到 得到改进解重复上述过程，总结得出近似递推公式,7,5.2.2,牛顿,拉裴逊（,NewtonRaphson,）法,非线性方程组,在,附近的近似,一般情况下，,故可得其解为,图,10-3 NR,迭代法的几何意义,图,10-4,修正牛顿法迭代几何意义,线性方程组为,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,75.2.2 牛顿拉裴逊（NewtonRaphson）法,8,5.2.3,载荷增量法,为载荷因子，用来描述载荷变化的参数，,对应于,，,对应于,，则,上式的泰勒展开式为,令,得,则有,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,85.2.3 载荷增量法为载荷因子，用来描述载荷变化的参数，,9,或为,假设将载荷因子,分为,m,个增量，并设,有,相应载荷为,则方程组的迭代公式为,当满足收敛准则时，迭代终止。,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,9或为假设将载荷因子分为m个增量，并设有 相应载荷为 则方程,10,图,10-5,载荷增量法的几何意义,5.3,材料非线性,5.3.1,材料非线性特征,材料非线性问题,可划分为以下三种类型。,（,1,）非线性弹性问题,（,2,）弹塑性问题,有限单元法求解方程的形式相同，即表现为,返回章节目录,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,10图10-5 载荷增量法的几何意义 5.3 材料非线性5.,11,(a),非线性弹性问题,(b),弹塑性问题,(c),理想塑性问题,(d),强化塑性问题,图,10-6,材料非线性问题,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,11(a)非线性弹性问题(b)弹塑性问题(c)理想,12,（,3,）蠕变与应力松弛问题,在一定温度范围内，材料在固定温度和不变载荷作用下，其变形随时间缓慢而增加的现象称之为蠕变。在不增加应变情况下，在常值位移作用下应力随时间缓慢减小的现象称之为应力松驰。,考虑蠕变问题，就是要考虑在材料的本构关系中其粘性的影响程度。具有粘性的材料又可分为线性粘性材料和非线性粘性材料。,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,12（3）蠕变与应力松弛问题 在一定温度范,13,5.3.2,材料非线性模型,应力仅为应变的函数，加卸载规律相同。,材料,模型,示意图,特 点,示 例,弹性,元件：,线性,非线性,对于线弹性材料,D,是常数，非线弹性材料,D,是位移向量 的函数。,在应力充分小的情况下几乎包括所有材料例如，金属、岩石、玻璃、木材。,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,135.3.2 材料非线性模型应力仅为应变的函数，加卸载规律,14,应变随时间变化，应力与系数有关。,粘性,元件,高温环境下的金属材料、地壳岩石等。,式中,粘性系数,时间,理想塑性,强化塑性,式中,屈服应力，,塑性,元件,岩石在承受的荷载超过一定值时，如较高的围岩压力时表现出理想塑性特性。,塑性强化模量,。,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,14应变随时间变化，应力与系数有关。粘性高温环境下的金属材,15,弹塑性变形时总应变包括两部分。,式中,弹性应变，,弹塑性,元件,塑性应变。,加载时使用增量理论。,应力足够大时的金属、岩石、土壤。,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,15弹塑性变形时总应变包括两部分。式中 弹性应变，弹塑性,16,粘弹性元件串联,麦克斯韦尔,(Maxwll),模型，一般描述材料的松弛特性。其特点,式中,粘性系数，,粘弹性,元件,金属、聚合物。,蠕变应变。,粘弹性元件并联,开尔文,(Voigt Kelvin),模型，一般描述材料的蠕变特性。其特点,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,16 粘弹性元件串联麦克斯韦尔(Maxwll)模型，一,17,粘性和塑性元件并联,宾汉（,Binhan,）模型实际可视为刚性,塑性模型，仅当材料的应力达到其屈服应力时，才能够产生塑性流动，流动的速度与粘性系数及载荷值有关。,粘塑性,元件,粘性和塑性元件串联,拟粘性流体模型。,特点,式中,高应变率的金属、聚合物,高温下的金属，油漆等粘稠胶状物。,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,17 粘性和塑性元件并联宾汉（Binhan）模,18,5.3.3,弹塑性问题有限元分析,(1),单元刚度矩阵,单元刚度矩阵可分成三种情况来考虑，即弹性阶段、过渡阶段和弹塑性阶段。,对于应力处于弹性阶段的单元，单元刚度矩阵,按弹性问题处理,对于应力已超过屈服应力的单元，单元刚度矩阵,按弹塑性,刚度矩阵计算。,一般过渡单元刚度矩阵为,返回章节目录,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,185.3.3 弹塑性问题有限元分析(1)单元刚度矩阵,19,式中,为过渡单元的弹塑性矩阵，取为弹性和塑性矩阵的加权平均值。,其中，,m,为加权因子当,m,1,时为完全弹性；,m,0,为完全塑性。,m,值的物理意义见图,10-7,。,图,10-7,m,值的物理意义,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,19式中 为过渡,20,(2),弹塑性有限元解法,弹塑性问题求解常用切线刚度法、初应力法或切线刚度法等增量法。,同样，弹塑性问题的平衡方程可以表示为,按照,增量法,求解时，步骤如下。,首先求出全部载荷向量,作用之下的弹性解,计算由于弹性解,产生的相应等效应力,施加载荷增量,，计算各单元由此产生的应变增量,根据每个单元的变形状态（弹性、塑性或弹塑过渡区），计算其单元刚度矩阵，集成形成总体刚度矩阵。,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,20(2)弹塑性有限元解法 弹塑性问题求解常,21,重新计算位移增量，进而计算单元应变增量和等效应变增量，依次修改相应的,m,值。重复以上,步骤计算过程，一般修改,m,值,23,次即可,计算位移和应力增量，并将位移、应变、应力增量迭加到增量作用前的水平上。,重复,步骤计算过程，直至完成所有的增量步。,作卸载计算，求出残余应力和残余应变。,输出计算结果。,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,21 重新计算位移增量，进而计算单元应变增,22,5.4,几何非线性,5.4.1,几何非线性特征,几何非线性问题又可分为两大类，即大位移、小应变问题和大位移、大应变问题。,(a),大位移、小应变问题,(b),大位移、大应变问题,返回章节目录,图,10-8,几何非线性问题,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,225.4 几何非线性5.4.1 几何非线性特征,23,几何非线性问题,比线性问题复杂得多，,非线性问题与线性问题主要不同之处,如下。,a,对于大位移、小应变问题，虽然应力应变关系是线性关系，但计算应变位移关系时,位移的高阶导数项的影响不能够忽略，因而应变与位移呈现非线性关系。,b,对于有限变形问题，即大位移、大应变的情况，,应力,应变关系也是非线性的。,c,几何非线性问题的平衡方程组，建立在结构变形后的位形状态上，而这个位形状态在求解过程中总是变动的。,d,随着有限位形的变化，材料的本构方程亦发生变化。采用不同的参考位形将得出不同的本构方程式。,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,23 几何非线性问题比线性问题复杂得多，非线性问,24,5.4.2,几何非线性有限元分析,由,虚功原理,则有,因为,故有,虚应变与虚位移的关系式为,由于虚位移的任意性，由此可得出,非线性问题的一般平衡方程式,返回章节目录,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,245.4.2 几何非线性有限元分析由虚功原理则有因为故有虚,25,式中,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,25式中第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,26,由此，平衡方程式的增量形式可简记之,5.4.3,杆单元刚度,图示杆单元的长度为,l,，截面积为,A,，弹性模量为,E,。,图,10-9,杆单元位移示意图,返回章节目录,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,26由此，平衡方程式的增量形式可简记之5.4.3 杆单元刚度,27,设单元形函数,单元内任意点位移列向量,轴向应变为,则有,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,27设单元形函数 单元内任意点位移列向量轴向应变为则有第五章,28,式中,可得,注意到,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,28式中可得 注意到第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,29,假设单元的轴向力为,，则可以得到几何刚度矩阵,最后可以得到杆单元的切线刚度矩阵为,第五章 结构非线性分析的有限单元法简介,29 假设单元的轴向力为，则可以得到几何刚度矩阵最后可以得到,30,5.5,边界非线性,5.5.1,边界非线性（接触）问题概述,在工程结构中，经常会遇到大量的接触边界问题。如齿轮的啮合、压力容器的法兰联接、电机组合转子的组装、机器轴承接触、碰撞等。在分析和设计中，常常需要确定两个或多个相互接触物体的位移、接触区域的,大小、相互接触面上的应力分布情况等。,接触问题求解复杂，解析法很难