曲线的参数方程课件

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一 曲线的参数方程,第二讲 参数方程,一 曲线的参数方程第二讲 参数方程,如图，一架救援飞机在离灾地面,500m,高处以,100 m/s,的速度作水平直线,飞行,.,为使投放的救援物资准确落于灾,区指定的底面,(,不计空气阻力,),，飞行员,应如何确定投放时机呢？,问题探究,A,v,=100m/s,如图，一架救援飞机在离灾地面问题探究Av=1,如图，一架救援飞机在离灾地面,500m,高处以,100 m/s,的速度作水平直线,飞行,.,为使投放的救援物资准确落于灾,区指定的底面,(,不计空气阻力,),，飞行员,应如何确定投放时机呢？,问题探究,x,y,O,A,v,=100m/s,-500,如图，一架救援飞机在离灾地面问题探究xyOA,如图，一架救援飞机在离灾地面,500m,高处以,100 m/s,的速度作水平直线,飞行,.,为使投放的救援物资准确落于灾,区指定的底面,(,不计空气阻力,),，飞行员,应如何确定投放时机呢？,问题探究,M,x,y,O,A,v,=100m/s,-500,如图，一架救援飞机在离灾地面问题探究MxyO,1.,参数方程的概念,一般地，在平面直角坐标系中，如,果曲线上任意一点的坐标,x,，,y,都是某个,变数,t,的函数,1.参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中,1.,参数方程的概念,一般地，在平面直角坐标系中，如,果曲线上任意一点的坐标,x,，,y,都是某个,变数,t,的函数,并且对于,t,的每一个允许值，由方程,组所确定的点,M,(,x,y,),都在这条曲线上，,那么方程就叫做这条曲线的参数方程，,联系变数,x,，,y,的变数,t,叫做参变数，简称,参数,.,相对于参数方程而言，直接给出点,的坐标间关系的方程叫做普通方程,.,1.参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中,参数是联系变数,x,，,y,的桥梁，可以是一个与物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数,.,练习：指出下列参数方程中的参数,参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个与物理意,例,1.,例1.,2,、参数方程和普通方程的互化,2、参数方程和普通方程的互化,将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。,曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。如果知道变数,x,y,中的一个与参数,t,的关系，例如 ，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系,那么 就是曲线的参数方程。,将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。,例,2,、把下列参数方程化为普通方程，,并说明它们各表示什么曲线？,例2、把下列参数方程化为普通方程，,（,2,）把 平方后减去,得到,因为,所以,因此，与参数方程等价的普通方程是,这是抛物线的一部分。,所以,代入,（2）把,1.,将下列参数方程化为普通方程：,(1),(2),(3),x=t+1/t,y=t,2,+1/t,2,（,1,）（,x-2,）,2,+y,2,=9,（,2,）,y=1-2x,2,（,-1x1,）,（,3,）,x,2,-y=2,（,X2,或,x-2,）,步骤：,（,1,）消参；,（,2,）求定义域。,练一练,1.将下列参数方程化为普通方程：(1)(2)(3)x=t+1,2.,求参数方程,表示,（）,（,A,）双曲线的一支，这支过点（,1,，,）：,（,B,）抛物线的一部分，这部分过（,1,，,）；,（,C,）双曲线的一支，这支过点（,1,，,）；,（,D,）抛物线的一部分，这部分过（,1,，,）,2.求参数方程表示 （）（A）双曲线的一支,分析,一般思路是：化参数方程为普通方程,求出范围、判断。,解,x,2,=,=1+sin,=2y,，,普通方程是,x,2,=2y,，为抛物线。,，又,0,2,，,0 x,，故应选（,B,）,说明,这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法,是最好的方法。,分析一般思路是：化参数方程为普通方程求出范围、判断。解x2,例,3,解,（,1,）把,带入椭圆方程，得到,于是,由参数 的任意性，可取,因此椭圆的参数方程为 （为参数）,例3 解（1）把,思考：为什么（,2,）中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？,因此椭圆的参数方程为,（,t,为参数）,和,（,2,）把,代入椭圆方程，得,思考：为什么（2）中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？,x,y,范围与,y=x,2,中,x,y,的范围相同，,代入,y=x,2,后满足该方程，从而,D,是曲线,y=x,2,的一种参数方程,.,曲线,y=x,2,的一种参数方程是（）,.,注意：,在参数方程与普通方程的互化中，必须使,x,，,y,的取值,范围保持一致。否则，互化就是不等价的,.,在,y=x,2,中，,xR,y0,，,分析,:,发生了变化，因而与,y=x,2,不等价；,在,A,、,B,、,C,中，,x,y,的范围都,而在中，,且以,练一练,x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，代入y=x2后满足该,普通方程,参数方程,引入参数,消去参数,小结,普通方程参数方程引入参数消去参数小结,圆周运动是生活中常见的,.,当物体绕,定轴作匀速转动时，物体中各个点都作,匀速圆周运动,.,那么，怎样刻画运动中点,的位置呢？,3.,圆的参数方程概念,圆周运动是生活中常见的.当物体绕3.圆的参,圆周运动是生活中常见的,.,当物体绕,定轴作匀速转动时，物体中各个点都作,匀速圆周运动,.,那么，怎样刻画运动中点,的位置呢？,3.,圆的参数方程概念,圆周运动是生活中常见的.当物体绕3.圆的参,如果在时刻,t,，点,M,转过的角度是,，,坐标是,M,(,x,y,),，那么,t,.,设,|,OM,|,r,，,那么由三角函数定义有,即,讲授新课,如果在时刻t，点M转过的角度是，即讲授新课,这就是圆心在原点,O,，半径为,r,的圆,的参数方程,.,其中参数,t,有明确的物理意义,(,质点,作匀速圆周运动的时刻,).,讲授新课,这就是圆心在原点O，半径为r的圆讲授新课,讲授新课,考虑到,t,，也可以取,为参数，于,是有,这也是圆心在原点,O,，半径为,r,的圆的参数,方程,.,其中参数,的几何,意义是,OM,0,绕点,O,旋转,到,OM,的位置时，,OM,0,转过的角度,.,讲授新课 考虑到t，也可以取为参数，于,圆心是,(a,b),半径是,r,的圆的参数方程是什么呢？,圆心是(a,b),半径是r的圆的参数方程是什么呢？,例,1,、已知圆方程,x,2,+y,2,+2x-6y+9=0,，将它化为参数方程。,解：,x,2,+y,2,+2x-6y+9=0,化为标准方程，,（,x+1,）,2,+,（,y-3,）,2,=1,，,参数方程为,(,为参数,),例1、已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参,练习,.,(1)(,x,1),2,y,2,4,上的点可以表示为,A.(,1,cos,sin,),B.(1,sin,cos,),C.(,1,2cos,2sin,),D.(1,2cos,2sin,),(),练习.(1)(x1)2y24上的点可以表示为A.(,练习,.,(1)(,x,1),2,y,2,4,上的点可以表示为,A.(,1,cos,sin,),B.(1,sin,cos,),C.(,1,2cos,2sin,),D.(1,2cos,2sin,),(),D,练习.(1)(x1)2y24上的点可以表示为A.(,练习,.,的圆心为,_,，半径为,_.,练习.的圆心为_，半径为_.,练习,.,的圆心为,_,，半径为,_.,(4,0),练习.的圆心为_，半径为_.(4,练习,.,的圆心为,_,，半径为,_.,(4,0),2,练习.的圆心为_，半径为_.(4,x,M,P,A,y,O,解,:,设,M,的坐标为,(,x,y,),可设点,P,坐标为,(4cos,4sin,),点,M,的轨迹是以,(6,0),为圆心、,2,为半径的圆。,由中点公式得,:,点,M,的轨迹方程为,x,=6+2cos,y,=2sin,x,=4cos,y,=4sin,圆,x,2,+,y,2,=16,的参数方程为,例,1.,如图,已知点,P,是圆,x,2,+,y,2,=16,上的一个动点,点,A,是,x,轴上的定点,坐标为,(12,0).,当点,P,在圆,上运动时,线段,PA,中点,M,的轨迹是什么,?,参数方程的应用,(1),参数法求轨迹方程,xMPAyO解:设M的坐标为(x,y),可设点P坐标为(4,解,:,设,M,的坐标为,(,x,y,),点,M,的轨迹是以,(6,0),为圆心、,2,为半径的圆。,由中点坐标公式得,:,点,P,的坐标为,(2,x,-,12,2,y,),(2,x,-,12),2,+(2,y,),2,=16,即,M,的轨迹方程为,(,x,-,6),2,+,y,2,=4,点,P,在圆,x,2,+,y,2,=16,上,x,M,P,A,y,O,例,1.,如图,已知点,P,是圆,x,2,+,y,2,=16,上的一个动点,点,A,是,x,轴上的定点,坐标为,(12,0).,当点,P,在圆,上运动时,线段,PA,中点,M,的轨迹是什么,?,解:设M的坐标为(x,y),点M的轨迹是以(6,0)为圆心,例,2.,已知点,P,（,x,，,y,）是圆,x,2,+y,2,-6x-4y+12=0,上动点，求（,1,）,x,2,+y,2,的最值，（,2,）,x+y,的最值，（,3,）,P,到直线,x+y-1=0,的距离,d,的最值。,解：圆,x,2,+y,2,-6x-4y+12=0,即（,x-3,）,2,+,（,y-2,）,2,=1,，用参数方程表示为,由于点,P,在圆上，所以可设,P,（,3+cos,，,2+sin,），,（,1,）,x,2,+y,2,=(3+cos),2,+(2+sin),2,=14+4 sin+6cos=14+2 sin(+).,x,2,+y,2,的最大值为,14+2,，最小值为,14-2,。,（,2,）,.,参数法求最值,例2.已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12,(2)x+y=3+cos+2+sin=5+sin,（,+,）,x+y,的最大值为,5+,，最小值为,5-,。,(3),显然当,sin,（,+,）,=1,时，,d,取最大值，最,小值，分别为 ，。,(2)x+y=3+cos+2+sin=5+,1.已知点,P,(,x,，,y,),是圆,x,2,y,2,2,y,上的动点,.,(1),求,2,x,y,的取值范围；,(2),若,x,y,a,0,恒成立，求实数,a,的取值范围,巩固练习,1.已知点P(x，y)是圆x2y22y上的动点.巩固练习,曲线的参数方程课件,曲线的参数方程课件,曲线的参数方程课件,曲线的参数方程课件,曲线的参数方程课件,小结,(1),圆,x,2,y,2,r,2,的参数方程为,(2),圆,(,x,a,),2,(,y,b,),2,r,2,的参数方程为,小结(1)圆x2y2r2的参数方程为(2)圆(xa,