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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3.2 “,杨辉三角”与二项式系数的性质,普通高中课程标准人教,A,版数学选修,2-3,1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质普通高中课程标,复习回顾,二项式定理,:,二项式系数,通项,组合数两个性质,:,复习回顾 二项式定理:二项式系数通项组合数两个性质:,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,1,6,15,20,15,6,1,新知引入,“杨辉三角”,(,a,+,b,),1,(,a,+,b,),2,(,a,+,b,),3,(,a,+,b,),4,(,a,+,b,),5,(,a,+,b,),6,111211331146411510105116152015,杨辉三角,此表在我国南宋数学家杨辉,1261,年,所著的,详解九章算法,里就已经出现，并且北宋数学家,贾宪,(,约公元,11,世纪,),已使用过它,.,杨辉,(,南宋,),在欧洲，这个表被认为是法国数学家,帕斯卡（,1623-1662,）,首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角,.,杨辉三角的发现要比欧洲,早五百年左右,.,杨辉三角 此表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,1,6,15,20,15,6,1,111211331146411510105116152015,n=,6,-,n=,5,-,n=,4,-,对称性,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,1,6,15,20,15,6,1,新知探究一,:,n=,3,-,n=,1,-,n=,2,-,n=,1,-,n=,2,-,n=,3,-,n=,1,-,n=,2,-,1.,对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,.,二项式系数的性质,n=6-n=5-n=4-,4+6=10,2+1=3,例如：,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,1,6,15,20,15,6,1,2,1,3,4,6,10,新知,探究二,:,1,7,35,21,1,35,21,7,纵向：,相邻两行的数有什么关系？,在,相邻的两行,中,除1以外的每一个数都等于它“,肩上,”两个数的和.,（,“,双肩,”,和,）,4+6=102+1=3例如：1112113311464115,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,1,6,15,20,15,6,1,当,n,为偶数如,2,、,4,、,6,时，中间一项最大,2.,增减性与最大值,新知,探究三,:,横向,:,每行系数大小变化趋势？,当,n,为奇数如,1,、,3,、,5,时，中间两项最大,n=,6,-,n=,5,-,n=,4,-,n=,3,-,n=,1,-,n=,2,-,n=,1,-,n=,2,-,n=,3,-,n=,1,-,n=,2,-,n=,6,-,n=,5,-,n=,4,-,n=,3,-,n=,1,-,n=,2,-,111211331146411510105116152015,可知，当 时，,二项式系数,前半部分逐渐增大,的，由对称性可知它的,后半部分是逐渐减小,的，且,中间项,取得最大值。,增减性与,最大值,理论推导,证明：（法一）,可知，当 时，二项式系数前半部分逐渐增大的，由,可知，当 时，,二项式系数,前半部分逐渐增大,的，由对称性可知它的,后半部分是逐渐减小,的，且,中间项,取得最大值。,增减性与,最大值,理论推导,证明：（法二）,可知，当 时，二项式系数前半部分逐渐增大的，由,1 2 3 4 5 6,1,5,10,15,20,r,o,定义域为,0,1,2,n,.,其图象是,7,个,孤立点,.,函数角度,图象法,直线 作为对称轴将图象分成对称的两部分,深入探究,当,n=6,时,1 2 3 4,n,O,O,n,当,n,是偶数,时，中间的,一,项 取得,最大值,.,当,n,是奇数,时，中间的,两,项 和 相等,且同时取得,最大值,.,n,为奇数；,如,n=7,n,为偶数；如,n=6,4,3,3,6,7,10,20,30,20,15,6,nOOn当n是偶数时，中间的一项 取得最大值.当,新知,探究四,:,计算各行二项式系数的和，你能发现什么规律？,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,1,6,15,20,15,6,1,n=,6,-,n=,5,-,n=,4,-,n=,3,-,n=,1,-,n=,2,-,n,新知探究四:计算各行二项式系数的和，你能发现什么规律？111,3.,各二项式系数的和,二项式系数的性质,赋值法,3.各二项式系数的和 二项式系数的性质赋值法,例,3,试证：在 展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,.,典例解析,即,在,(,a,+,b,),n,展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,.,在二项式定理中，令 ，则：,证明：,赋值法,例3 试证：在 展开式中，奇数项的二项式系数的和,1.,若 的展开式中，第三项与第七项的二项式系数相等，则,n=_,学以致用,8,课堂练习,2.,在 的展开式中，二项式系数的最大值,为,.,（结果用组合数表示）,3,.在 的展开式中，二项式系数的最大值,为,.,（结果用组合数表示）,1.若 的展开式中，第三项与第七项的二项式系数,掌握,三,个性质,体现,两,种思想,数形结合与,函数的思想,二项式系数的三个性质,课堂小结,主题：,“杨辉三角”与二项式系数的性质,学会,一,个方法,赋值法,掌握三个性质体现两种思想数形结合与函数的思想二项式系数的三个,作业题：习题,1,3 A,组,6,、,7,、,8.,课后探究：“杨辉三角”中的一些秘密,.,课后作业,作业题：习题13 A组6、7、8.课后探究：“杨,
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