4.4矩和协方差矩阵

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四节 矩和协方差矩阵,在数学期望一讲中，我们已经介绍了矩和中心矩的概念,.,这里再给出混合矩、混合中心矩的概念,.,协方差,Cov,(,X,Y,),是,X,和,Y,的,二阶混合中心矩,.,称它为X和Y的k+L阶混合原点矩.,若,存在，,称它为,X,和,Y,的,k,+,L,阶混合中心矩,.,设,X,和,Y,是随机变量，若,k,L,=1,2,存在，,可见，,协方差矩阵的定义,将二维随机变量X1,X2的四个二阶中心矩,排成矩阵的形式,:,称此矩阵为X1,X2的协方差矩阵.,这是一个,对称矩阵,类似定义,n,维随机变量,(,X,1,X,2,X,n,),的协方差矩阵,.,下面给出,n,元正态分布的概率密度的定义,.,为,(,X,1,X,2,X,n,),的协方差矩阵,称矩阵,都存在,i,j,=1,2,n,若,f,(,x,1,x,2,x,n,),则称X听从n元正态分布.,其中,C,是,(,X,1,X,2,X,n,),的协方差矩阵,.,|,C,|,是它的行列式，,表示,C,的逆矩阵，,X,和,是,n,维列向量，,表示,X,的转置,.,设,=(,X,1,X,2,X,n,),是一个,n,维随机向量,若它的概率密度为,n,元正态分布的几条重要性质,1.X=(X1,X2,Xn)听从n元正态分布,a,1,X,1,+,a,2,X,2,+,a,n,X,n,均服从正态分布,.,对一切不全为,0,的实数,a,1,a,2,a,n,，,n,元正态分布的几条重要性质,2.假设 X=(X1,X2,Xn)听从n元正态分布，,Y1,Y2,，Yk是Xjj=1,2,n的线性函数，,则(Y1,Y2,，Yk)也听从多元正态分布.,这一性质称为正态变量的线性变换不变性,.,n,元正态分布的几条重要性质,3.设(X1,X2,Xn)听从n元正态分布，则,“,X,1,X,2,X,n,相互独立”,等价于,“,X,1,X,2,X,n,两两不相关”,例,2,设随机变量,X,和,Y,相互独立且,X,N,(1,2),Y,N,(0,1).,试求,Z,=2,X,-,Y,+3,的概率密度,.,故,X,和,Y,的联合分布为正态分布，,X,和,Y,的,任意线性组合是正态分布,.,解,:,X,N,(1,2),Y,N,(0,1),，且,X,与,Y,独立,Var,(,Z,)=4,Var,(,X,)+,Var,(,Y,)=8+1=9,E,(,Z,)=2,E,(,X,)-,E,(,Y,)+3=2+3=5,即,Z,N,(,E,(,Z,),Var,(,Z,),Z,N,(5,3,2,),故,Z,的概率密度是,Z,N,(5,3,2,),这一讲我们介绍了协方差和相关系数,相关系数是刻划两个变量间,线性相关程度,的一个重要的数字特征,.,留意独立与不相关并不是等价的.,当(X,Y)听从二维正态分布时，有,X,与,Y,独立,X,与,Y,不相关,