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单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第八节,一般周期的函数的傅里叶级数,一、以,2,l,为周期的函数的,傅里叶展开,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、傅里叶级数的复数形式,第十一章,一、以,2,l,为周期的函数的傅里叶展开,周期为,2,l,函数,f,(,x,),周期为,2,函数,F,(,z,),变量代换,将,F,(,z,),作傅氏展开,f,(,x,),的傅氏展开式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设周期为2,l,的周期函数,f,(,x,),满足收敛定理条件,则它的傅,里,叶展开式为,(在,f,(,x,),的连续点处),其中,定理.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明:,令,则,令,则,所以,且它满足收敛,定理,条件,将它展成傅,里,叶级数:,(在,F,(,z,),的连续点处),变成,是以 2,为周期的周期函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,令,(在,f,(,x,),的 连续点处),证毕,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,其中,(在,f,(,x,),的连续点处),如果,f,(,x,),为,偶函数,则有,(在,f,(,x,),的连续点处),其中,注:,无论哪种情况,在,f,(,x,),的间断点,x,处,傅,里,叶级数,收敛于,如果,f,(,x,),为,奇函数,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,交流电压,经半波整流后负压消,失,试求半波整流函数的,解:,这个半波整流函数,它在,傅,里,叶级数.,上的表达式为,的周期是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,n,1,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由于半波整流函数,f,(,t,),直流部分,说明,:,交流部分,由收,收敛定理可得,2,k,次谐波的振幅为,k,越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近,f,(,x,),了.,上述级数可分解为直流部分与交流部分的和,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,把,展开成,(,1)正弦级数;(2)余弦级数.,解:,(1)将,f,(,x,),作,奇,周期延拓,则有,在,x,=2,k,处级数收敛于何值?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)将,作,偶,周期延拓,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,此式对,也成立,由此还可导出,据此有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当函数定义在,任意有限区间,上时,方法1,令,即,在,上展成傅,里,叶级数,周期延拓,将,在,代入展开式,上的傅,里,叶级数,其傅,里,叶展开方法:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法2,令,在,上展成,正弦,或,余弦,级数,奇,或,偶,式周期延拓,将 代入展开式,在,即,上的,正弦,或,余弦,级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,将函数,展成傅,里,叶级数.,解:,令,设,将,F,(,z,),延拓成周期为 10 的周期函数,理,条件.,由于,F,(,z,),是奇函数,故,则它满足收敛定,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用,欧拉公式,二、傅里叶级数的复数形式,设,f,(,x,),是周期为 2,l,的周期函数,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意到,同理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,傅里叶级数的复数形式:,因此得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,式,的傅,里,叶级数.,例4.,把宽为,高为,h,周期为,T,的矩形波展成复数形,解:,在一个周期,它的复数形式的傅,里,叶系数为,内矩形波的函数表达式为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为正弦 级数.,内容小结,1.周期为2,l,的函数的傅,里,叶级数展开公式,(,x,间断点),其中,当,f,(,x,),为奇 函数时,(偶),(,余弦),2.在任意有限区间上函数的傅,里,叶展开法,变换,延拓,3.傅,里,叶级数的复数形式,利用欧拉公式导出,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.将函数展开为傅,里,叶级数时为什么最好先画出其图形?,答:,易看出奇偶性及间断点,2.计算傅,里,叶系数时哪些系数要单独算?,答:,用系数公式计算,如分母中出现因子,n,k,作业,:,P256 1,(1),(3);,2,(2);,3,从而便于计算系数和写出,收敛域.,必须单独计算.,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,期的傅立叶级数,并由此求级数,(91 考研),解:,为,偶函数,因,f,(,x,),偶延拓后在,展开成以2为周,的和.,故,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
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