新版高中数学北师大版必修2ppt课件1.4.2等角定理与异面直线所成的角

,-,-,第,2,课时等角定理与异面直线所成的角,第,2,课时等角定理与异面直线所成的角,第2课时等角定理与异面直线所成的角,新版高中数学北师大版必修2ppt课件1,1,.,等角定理,空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角,相等或互补,.,名师点拨,等角定理的符号语言与图形语言及作用,.,(1),图形语言,:,如图,所示,.,(2),符号语言,:,已知,OA,OA,OB,OB,则,AOB=,AOB,或,AOB+,AOB=,180,.,(3),作用,:,判断或证明两个角相等或互补,.,1.等角定理名师点拨等角定理的符号语言与图形语言及作用.,【做一做,1,】,空间两个角,的两边分别对应平行,且方向相同,若,=,50,则,等于,(,),A.50,B.130,C.40,D.50,或,130,解析,:,由等角定理知,与,相等,.,答案,:,A,【做一做1】空间两个角,的两边分别对应平行,且方向相同,2,.,异面直线所成的,角,如图所示,过空间任意一点,P,分别引两条异面直线,a,b,的平行线,l,1,l,2,(,a,l,1,b,l,2,),这两条相交直线所成的,锐角,(,或,直角,),就是异面直线,a,b,所成的角,.,如果两条异面直线所成的角是直角,我们称这两条直线,互相垂直,.,记作,:,a,b.,2.异面直线所成的角 如图所示,过空间任意一点P分别引两条异,做一做,2,如图所示,在四面体,ABCD,中,E,F,G,分别为,BC,AD,DB,的中点,若,AB,与,CD,所成的角为,60,则,FGE=,.,解析,:,因为,E,F,G,分别为,BC,AD,DB,的中点,所以,FG,AB,EG,DC,所以,FGE=,60,或,120,.,答案,:,60,或,120,做一做2如图所示,在四面体ABCD中,E,F,G分,3,.,空间四边形,四个顶点,不在,同一平面内的四边形叫作空间四边形,.,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打,“,”,错误的打,“,”,.,(1),若一个角的两边和另一个角的两边分别,平行,且方向,相同,则这两个角相等,.,(,),(2),若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且有一组对边方向相同,另一组对边方向相反,则这两个角互补,.,(,),(3),若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,则这两个角相等,.,(,),(4),若一个角的两边和另一个角的两边分别,平行,且,方向相反,则这两个角互补,.,(,),(5),两条异面直线所成角的范围为,0,90,),.,(,),3.空间四边形思考辨析 ,探究一,探究二,一题多解,探究,一,等角定理的应用,【,例,1,】,如图所示,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,M,M,1,分别是棱,AD,和,A,1,D,1,的中点,.,求证,:,(1),四边形,BB,1,M,1,M,为平行四边形,;,(2),BMC=,B,1,M,1,C,1,.,分析,:,本题是在正方体中研究问题,(1),欲证四边形,BB,1,M,1,M,是平行四边形,可证其一组对边平行且相等,;(2),可结合,(1),利用定理证明或利用三角形全等证明,.,探究一探究二一题多解 探究一等角定理的应用(1)四边,探究一,探究二,一题多解,证明,:,(,1),在正方形,ADD,1,A,1,中,M,M,1,分别为,AD,A,1,D,1,的中点,MM,1,=AA,1,MM,1,AA,1,.,又,AA,1,=BB,1,AA,1,BB,1,MM,1,=BB,1,且,MM,1,BB,1,.,四边形,BB,1,M,1,M,为平行四边形,.,(2),方法一,:,由,(1),知四边形,BB,1,M,1,M,为平行四边形,B,1,M,1,BM.,同理可得四边形,CC,1,M,1,M,为平行四边形,C,1,M,1,CM.,由平面几何知识可知,BMC,和,B,1,M,1,C,1,都是锐角,BMC=,B,1,M,1,C,1,.,探究一探究二一题多解证明:(1)在正方形ADD1A1中,M,探究一,探究二,一题多解,方法二,:,由,(1),知四边形,BB,1,M,1,M,为平行四边形,B,1,M,1,=BM.,同理可得四边形,CC,1,M,1,M,为平行四边形,.,C,1,M,1,=CM.,又,B,1,C,1,=BC,BCM,B,1,C,1,M,1,.,BMC=,B,1,M,1,C,1,.,反思感悟,1,.,要明确等角定理的两个条件,即两个角的两条边分别对应平行,并且方向相同,这两个条件缺一不可,.,2,.,空间中证明两个角相等,可以利用等角定理,也可以利用三角形的相似或全等,还可以利用平行四边形的对角相等,.,在利用等角定理时,关键是弄清楚两个角对应边的关系,.,探究一探究二一题多解方法二:由(1)知四边形BB1M1M为平,探究一,探究二,一题多解,变式训练,1,在三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,M,N,P,分别为边,A,1,C,1,AC,和,AB,的中点,.,求证,:,PNA,1,=,BCM,.,证明,:,因为,P,N,分别为,AB,AC,的中点,所以,PN,BC.,又,M,N,分别为,A,1,C,1,AC,的中点,所以,A,1,M,NC.,所以四边形,A,1,NCM,为平行四边形,故,A,1,N,MC.,由,及,PNA,1,与,BCM,对应边方向相同,得,PNA,1,=,BCM.,探究一探究二一题多解变式训练1在三棱柱ABC-A1B1C1中,探究一,探究二,一题多解,探究二求两条异面直线所成的角,【例,2,】,如图所示,已知正方体,ABCD-ABCD,.,(1),哪些棱所在的直线与直线,BC,是异面直线,?,(2),求异面直线,AD,与,BC,BC,与,CD,所成角的大小以及,AC,与,AB,所成角的正切值,.,分析,:,(1),按照异面直线的定义进行判断,;(2),根据异面直线所成角的定义进行求解,.,探究一探究二一题多解探究二求两条异面直线所成的角,探究一,探究二,一题多解,解,:,(,1),所在直线与,BC,是异面直线的棱有,:,AA,DD,AB,DC,AD,AD.,(2),因为,AD,BC,所以,AD,与,BC,所成的角就是,BC,与,BC,所成的角,.,因为,BC,BC,所以,AD,与,BC,所成的角等于,90,.,因为,AB,CD,所以,BC,与,CD,所成的角就是,BC,与,AB,所成的角,.,因为,ACB,是等边三角形,所以,ABC=,60,故,BC,与,CD,所成角的大小为,60,.,因为,AB,CD,所以,ACD,就是异面直线,AC,与,AB,所成的角,.,在,ACD,中,若设正方体的棱长为,a,探究一探究二一题多解解:(1)所在直线与BC是异面直线的棱,探究一,探究二,一题多解,反思感悟求异面直线所成的角,1,.,求两条异面直线所成的角,一般是根据其定义求解,步骤如下,:,(1),平移,;(2),构造三角形,;(3),解三角形,;(4),作答,.,2,.,在所给几何体中平移直线构造异面直线所成的角时,一般是选取其中一条直线上的特殊点,如顶点、棱的中点等,.,探究一探究二一题多解反思感悟求异面直线所成的角,探究一,探究二,一题多解,变式训练,2,如,图所示,已知三棱锥,A-BCD,AD=BC,E,F,分别是,AB,CD,的中点,且,EF=AD,求异面直线,AD,和,BC,所成角的大小,.,探究一探究二一题多解变式训练2如图所示,已知三棱锥A-BCD,探究一,探究二,一题多解,解,:,取,AC,的中点,G,连接,EG,FG.,因为,E,F,分别是,AB,CD,的中点,由异面直线所成角的定义可知,EGF,或其补角即为异面直线,AD,BC,所成的角,.,所以异面直线,AD,和,BC,所成的角为,90,.,探究一探究二一题多解解:取AC的中点G,连接EG,FG.由异,探究一,探究二,一题多解,【典例】,如图所示,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,F,分别是,A,1,B,1,B,1,C,1,的中点,求异面直线,DB,1,与,EF,所成角的大小,.,分析,:,要求异面直线所成角的大小,关键是作出异面直线所成的角,把它归结到三角形中,通过解三角形就可以得出,答案,.,同时在解题时要注意异面直线所成角的范围,.,探究一探究二一题多解【典例】如图所示,在正方体ABCD-A,探究一,探究二,一题多解,解法,1(,直接平移法,),如图所示,.,连接,A,1,C,1,B,1,D,1,交于点,O,取,DD,1,的中点,G,连接,GA,1,GC,1,OG,则,OG,B,1,D,EF,A,1,C,1,故,GOA,1,或其补角就是异面直线,DB,1,与,EF,所成的角,.,GA,1,=GC,1,O,为,A,1,C,1,的中点,GO,A,1,C,1,.,异面直线,DB,1,与,EF,所成的角为,90,.,探究一探究二一题多解解法1(直接平移法)如图所示.,探究一,探究二,一题多解,HF,2,=EF,2,+HE,2,HEF=,90,异面直线,DB,1,与,EF,所成的角为,90,.,探究一探究二一题多解HF2=EF2+HE2,HEF=9,探究一,探究二,一题多解,解法,3,如图所示,分别取,AA,1,CC,1,的中点,M,N,连接,MN,则,MN,EF,所以直线,MN,与,DB,1,所成的角就是异面直线,DB,1,与,EF,所成的角,.,连接,MB,1,DN,DM,B,1,N,则,B,1,N,DM,且,B,1,N=DM,四边形,DMB,1,N,为平行四边形,MN,与,B,1,D,必相交,设交点为,P.,DM,2,=DP,2,+MP,2,DPM=,90,即,DB,1,EF,异面直线,DB,1,与,EF,所成的角为,90,.,探究一探究二一题多解解法3如图所示,分别取AA1,CC1的中,探究一,探究二,一题多解,解法,4(,补形法,),如图所示,在原正方体的右侧补上一个同样的正方体,连接,B,1,Q,DQ,则,B,1,Q,EF.,于是,DB,1,Q,或其补角就是异面直线,DB,1,与,EF,所成的角,通过计算,不难得到,B,1,D,2,+B,1,Q,2,=DQ,2,故异面直线,DB,1,与,EF,所成的角为,90,.,探究一探究二一题多解解法4(补形法)如图所示,在原正方体的右,探究一,探究二,一题多解,名师点评,求两条异面直线所成角大小的步骤,:(1),构造,:,选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里的点通常选择特殊位置的点,如线段的端点或中点,也可以是异面直线中某一直线上的一个特殊点,.,(2),证明,:,证明作出的角就是要求的角,.,(3),计算,:,求角度,常利用三角形,.,(4),结论,:,若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角,;,若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角,.,探究一探究二一题多解名师点评求两条异面直线所成角大小的步骤:,1,2,3,4,5,1,.,若,AOB=,AOB,OA,OA,且,OA,与,OA,的方向相同,则,OB,与,OB,(,),A.,一定平行且方向相同,B.,一定平行且方向相反,C.,一定不平行,D,.,不一定平行,解析,:,由于两角不一定在同一个平面内或两角所在的平面不一定平行,因此,OB,与,OB,不一定平行,.,答案,:,D,123451.若AOB=AOB,OAOA,且,1,2,3,4,5,2,.,若一条直线与两条平行线中的一条为异面直线,则它与另一条,(,),A.,相交,B,.,异面,C.,相交或异面,D.,平行,解析,:,在如图所示的长方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,直线,AA,1,与直线,B,1,C,1,是异面直线,与,B,1,C,1,平行的直线有,A,1,D,1,AD,BC,显然直线,AA,1,与,A,1,D,1,相交,与,BC,异面,.,答案,:,C,123452.若一条直线与两条平行线中的一条为异面直线,则它,1,2,3,4,5,3,.,