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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,6.4,利用二次曲面的主径面化简二次曲面,Simplifying the equation of a quadratic surface by using master diameters,6.4.1,二次曲面的主径面方程,(the lord diameter surface equation of a quadratic surface),定义,1,二次曲面（,6.1-1,）的平行弦的中点轨迹是一个平面，称为共轭于平行弦的径面，而平行弦称为这个径面的共轭弦，平行弦的方向称为这个径面的共轭方向。,若方向,(,X,Y,Z,),满足,(,X,Y,Z,)=0,，则称,(,X,Y,Z,),为渐进方向，否则称为非渐进方向,.,6.4 利用二次曲面的主径面化简二次曲面Simplify,不难验证，二次曲面（,6.1-1,）的对应于方向,(,X,Y,Z,),的径面方程（证明略）为,定理,1,二次曲面的任何径面一定通过它的中心,.,定义,2,如果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向,那么这个径面就称为二次曲面的主径面,.,定义,3,二次曲面主径面的共轭方向（即垂直于主径面的方向）,或者二次曲面的奇向,称为二次曲面的主方向,.,不难验证，二次曲面（6.1-1）的对应于方向(X,Y,Z)的,2,设二次曲面方程为（,6.1-1,）,方向（,X,Y,Z,）,如果,（,X,Y,Z,）,是（,6.1-1,）的渐近方向,那么它成为（,6.1-1,）的主方向的条件是,成立,这时称（,X,Y,Z,）是（,6.1-1,）的,奇向,.,设二次曲面方程为（6.1-1）,方向（X,Y,Z）如果（X,3,如果（,X,Y,Z,）是（,6.1-1,）的非渐近方向,那么它成为（,6.1-1,）的主,方向的条件是与它的共轭径面,垂直，所以有,从而得,如果（X,Y,Z）是（6.1-1）的非渐近方向,那么它成为（,4,因此方向（,X,Y,Z,）成为二次曲面（,6.1-1,）的主方向的充要条件是存在使得上式成立,把上式改写成,（,6.4-2,）,这是一个关于,X,Y,Z,的奇次线性方程组,因此,X,Y,Z,不能全为零,因此，,（,6.4-3,）,即,因此方向（X,Y,Z）成为二次曲面（6.1-1）的主方向的充,5,定义,4,方程（,6.4-3,）称为二次曲面（,6.1-1,）的特征方程,特征方程的根称为二次曲面（,6.1-1,）的特征根,。,显然,这里的特征方程与不变量一节中的特征方程是完全相同的,.,从特征方程（,6.4-3,）求得特征根,代入（,6.4-2,）,就可以求出相应的主方向（,X,Y,Z,）,.,当,=0,时,与它相应的主方向为二次曲面的奇向；,当,0,时,与它相应的主方向为非奇主方向,将非奇主方向（,X,Y,Z,）代入（,6.4-1,），就得共轭于这个非奇主方向的主径面,.,定义4 方程（6.4-3）称为二次曲面（6.,6,例,1,求二次曲面 的主方向与主径面,.,解,二次曲面的矩阵是,则,二次曲面的特征方程为,所以特征根为,=4,3,0,.,例1 求二次曲面,7,将,=4,代入（,6.4-2,），,得,解该方程组，得对应于特征根,=4,的,主方向,为,（,X,Y,Z,）,=,（,1,0,，,-1,），,将其代入主径面方程（,6.4-1,）即有,化简得共轭于这个主方向的,主径面,为：,将=4 代入（6.4-2），得解该方程组，得对应于特征根,8,将,=3,代入（,6.4-2,），,得,解该方程组，得对应于特征根的,主方向,为,（,X,Y,Z,）,=,（,1,：,-1:1,）,将其代入（,6.4-1,）并化简得共轭于这个主方向的,主径面,为：,将,=0,代入（,6.4-2,），,得,解该方程组，得对应于特征根的,主方向,为,（,X,Y,Z,）,=,（,1:2:1,），,这一主方向为二次曲面的,奇向,(,注意：奇向没有对应的主径面）,.,将=3代入（6.4-2），得,9,二次曲面特征根的性质：,定理,2,二次曲面的特征根都是实数,.,定理,3,特征方程的三个根至少有一个不为零,因而二次曲,面总有一个非奇主方向,.,推论,二次曲面至少有一个主径面,.,二次曲面特征根的性质：,6.4.2,利用主径面化简二次曲面方程,(Simplifying the equation of a quadratic surface by,master diameters),由二次曲面的主径面、主方向、特征根的的一些性质可以,得出,化简二次曲面方程（,6.1-1,）的一般步骤如下：,（,1,）,先求解二次曲面（,6.1-1,）的矩阵的特征方程,求出特征根,；,（,2,）,根据不同的特征根求出主方向（,X,Y,Z,）；,（,3,）,根据主方向求出主径面,；,（,4,）,取不同特征根下的主径面为新坐标平面作坐标变换,得出曲面的简化方程,.,6.4.2 利用主径面化简二次曲面方程,例,2,化简二次曲面方程,解,二次曲面的矩阵为,所以曲面的特征方程为,解得二次曲面的三个特征根为,=6,3,-2.,例2 化简二次曲面方程,与特征根,=6,对应的主方向（,X,Y,Z,）由方程组,决定,解之得对应于特征根,=6,的主方向为,（,X,Y,Z,）,=,（,-8,8,16,）,=8,（,-1,1,2,）,与它共轭的主径面为,同理得，特征根,=3,对应的主方向,（,X,Y,Z,）,=,（,-5,5,-5,）,=-5,（,1,-1,1,）,与它共轭的主径面为,与特征根=6对应的主方向（X,Y,Z）由方程组决定,解之,13,特征根,=,-2,对应的主方向,为,（,X,Y,Z,）,=,（,20,20,0,）,=20,（,1,1,0,）,与它共轭的主径面为,取这三个主径面为新坐标平面作坐标变换,解出,代入原方程得到曲面的化简方程为,显然,这是一个双叶双曲面,.,End,特征根=-2 对应的主方向为End,谢谢大家！,Thank you,！,谢谢大家！,15,
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