导数的几何意义

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.1.3,导数的几何意义,平均变化率的几何意义,割线,AB,的斜率,:k=,O,A,B,x,y,y=,f(x,),x,0,x,0,+x,f(x,0,),f(X,0,+x),x,(1),函数平均变化率,:,【,温故知新,】,(2),平均变化率的几何意义,O,A,B,x,y,y=,f(x,),x,0,x,0,+x,f(x,0,),f(X,0,+x),x,(3),导数的定义,割线,AB,的斜率,P,P,n,o,x,y,y=,f(x,),割线,切线,T,我们发现,当点,P,n,沿着曲线无限接近点,P,即,x0,时,割线,PPn,趋近于确定位置,PT.,则我们把直线,PT,称为曲线在点,P,处的,切线,.,【,探索新知,】,想一想？,割线,PP,n,的斜率,k,n,与切线,PT,的斜率,k,有什么关系,?,割线,PP,n,的斜率,:,当点,P,n,无限趋近于点,P,即,x0,时,k,n,无限趋近于切线,PT,的斜率,k.,设 相对于 的增加量为,则,当,x0,时,割线,PPn,的斜率,称为曲线在点,P,处的,切线的斜率,.,即,:,提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法,;,切线斜率的本质,函数在,x=x,0,处的导数,.,P,Q,o,x,y,割线,切线,T,因此,函数,f(x,),在,x=x,0,处的,导数就是切线,PT,的斜率,.,【,概念形成,】,概念用途,:,圆的切线定义并不适用于一般的曲线。,通过,无限,逼近,的方法，将,割线趋于的确定位置的直线,定义为切线,（交点可能不惟一）,适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。,【,对比巩固,】,问：,圆的切线与一般曲线,的切线定义有何区别？,根据导数的几何意义，在点,P,附近，曲线可以,用在点,P,处的切线近似代替,。,大多数,函数曲线,就,一小范围,来看，大致可看作,直线，,所以，,某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”（以简单的对象刻画复杂的对象）,拓宽视野,例,1:,求曲线,y=x,2,+1,在点,P(1,2),处的切线斜率及切线方程,.,Q,P,y,=,x,2,+1,x,y,-,1,1,1,O,j,M,D,y,D,x,因此,切线的斜率,k=2,切线方程为,y-2=2(x-1),即,y=2x.,求曲线上某点处的切线方程的步骤,:,求出函数,y=,f(x,),在点,x,0,处的导数,f(x,0,),；,利用点斜式求切线方程。,【,典例精析,】,若点不在曲线上呢？,变式,1,：,试求过点 且与曲线 相切的,直线方程。,切线斜率：,解得,切线过点,直线方程,即,解：因为点 不在曲线上，设此切线过抛物线上 的点 ，则,思路：,设出切点利用导数的几何意义和已知条件去求,如图已知曲线,求,:,(1),点,P,处的切线的斜率,;(2),点,P,处的切线方程,.,y,x,-2,-1,1,2,-2,-1,1,2,3,4,O,P,即,点,P,处的切线的斜率等于,4.,(2),在点,P,处的切线方程是,y-8/3=4(x-2),即,12x-3y-16=0.,练一练,在曲线 上过哪一点的切线，,(1),平行于直线,(2),垂直于直线,(3),与 轴成 的倾斜角,这样的题你会吗？,例,3.,f,/,(x,),是,f(x,),的导函数，,f,/,(x,),的图象如图所示，则,f(x,),的图象只可能是,(),D,变式：,函数,y=,f(x,),的定义域是,R,，若对于任意的实数,x,，函数,f(x,),都是其定义域上的增函数，则函数,y=,f(x,),的图象可能是（）,A,课堂小结,今天这节课，你学到了,哪些知识？,课堂小结,一个概念：曲线在某点的切线,两种题型,:(1),求曲线在某点的切线方程,(2),研究函数图像的变化趋势,三种思想：无限逼近,以直代曲和数形结合,思考讨论,1,：,若曲线,C,：上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，求 的取值范围。,2.,求,在曲线 的切线斜率中斜率最小的切线方程。,