向量加法运算及其几何意义

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,向量加法运算及其几何意义,(),O,相等向量与相反向量,复习回顾：,单位向量与零向量,向 量,向量的大小,(,长度、模,),向量的方向,有向线段,平行向量,(,共线向量,),既有大小又有方向的量叫向量；,向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小,.,节引言,：,有了数只能进行计数，只有引入了运算，数的威力才得以充分展现,.,类比,数的运算，向量也能够进行运算,.,运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥,.,实际上，引入一个新的量后，考察它的运算及运算律，是数学研究中的基本问题,.,平面向量的线性运算包括向量加法、向量减法、向量数乘运算，以及它们之间的混合运算,.,平面向量的线性运算中，加法运算是最基本、最重要的运算，其它几种运算都可以归结为加法运算,.,今天我们就先来学学,向量的加法运算,.,向 量 加 法,向 量 加 法,例如,:,某人从,A,点向东走到,B.,日常生活中遇到的向量加法问题,:,然后从,B,点向北走到,C.,思考,:,这个人所走过的位移是多少,?,A,B,C,分析,:,由,物理知识,可以知道,:,从,A,点到,B,点然后到,C,点的合位移,就是从,A,点到,C,点的位移,.,AB,BC,AC,=,+,F,1,F,2,F,向 量 加 法,向 量 加 法,E,O,O,E,例如,:,橡皮条在力,F,1,与,F,2,的作用下,从,E,点伸长到了,O,点,.,同时橡皮条在力,F,的作用下也从,E,点伸长到了,O,点,.,问,:,合力,F,与力,F,1,、,F,2,有怎样的关系？,F,1,+F,2,=F,力,F,对橡皮条产生的效果，与力,F,1,和,F,2,共同作用产生的效果相同，物理学中把力,F,叫做,F,1,和,F,2,的合力,.,F,1,F,2,F,1,F,2,F,F,向 量 加 法,向 量 加 法,E,O,O,E,例如,:,橡皮条在力,F,1,与,F,2,的作用下,从,E,点伸长到了,O,点,.,同时橡皮条在力,F,的作用下也从,E,点伸长到了,O,点,.,问,:,合力,F,与力,F,1,、,F,2,有怎样的关系？,F,1,+F,2,=F,F,是以,F,1,与,F,2,为邻边所形成的,平行四边形的对角线,向量加法的定义,:,我们把求两个向量 的和的运算,叫做向量的加法,叫做 的和向量,.,向 量 加 法,向 量 加 法,A,C,2.,它们之们有联系吗,?,1.,两种方法做出的结果一样吗,?,向量加法的定义,任意给出两个向量,a,与,b,.,如何求,a,+,b,.,a,b,a,b,B,a,+,b,a,b,B,O,A,C,a,+,b,b,b,a,b,a,向 量 加 法,向 量 加 法,三 角 形 法 则,:,平行四边形法则,:,A,C,2.,它们之们有联系吗,?,1.,两种方法做出的结果一样吗,?,向量加法的定义,任意给出两个向量,a,与,b,.,如何求,a,+,b,.,a,b,a,b,B,a,+,b,a,b,B,O,A,C,a,+,b,b,位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型,.,力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型,.,向 量 加 法,向 量 加 法,向量加法的三角形法则,:,1.,将向量平移使得它们,首尾相连,方法巩固,:,2.,和向量即是第一个向量的,首,指向第二个向量的,尾,向量加法的平行四边形法则,:,1.,将向量平移到,同一起点,2.,和向量即以它们作为邻边,平行四边形的共起点的对角线,a,b,a,b,a+b,b,a,a+b,特例：共线向量,a,b,A,B,C,方向相同,a,b,C,A,B,方向相反,思考？,请选用合适符号连接：,探究,问题,1,：你能说出实数运算有哪些运算律吗？对于不同运算它们的运算律都相同吗？,问题,2,：定义了一种新运算,自然要研究其运算律问题,.,请类比数的加法的运算律,思考向量的加法是否也有运算律？有哪些运算律？,问题,3,：请探究向量加法的交换律是否成立？,问题,4,：类比向量加法的交换律，请验证结合律,.,你认为验证结合律的关键是什么呢？,问题探究,向量加法满足交换律和结合律,(1),向量加法交换律：,(2),向量加法结合律：,以上两个运算律可以,推广,到任意多个向量,.,a,b,c,a,b,c,A,B,C,D,A,B,C,D,向 量 加 法,向 量 加 法,a+b,(a+b)+c,a+(b+c),b+c,a,b,A,B,C,D,a+b,a,b,向 量 加 法,向 量 加 法,例,.,化简,学以致用,例,2.,长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输,.,一艘船从长江南岸,A,点出发,以,5km/h,的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东,2km/h.(1),试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；,(2),求船实际航行的速度的大小和方向,.,向 量 加 法,向 量 加 法,D,5,C,解,：,如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，,表示渡船实际过江的速度,.(,由平行四边形法则可以得到,),向 量 加 法,向 量 加 法,若水流速度和船速的大小保持不变,最后要能使渡船垂直过江,则船的,航向应该如何,?,在白纸上作图探究,.,探究,D,5,C,练习题,1,、（,1,）,（,2,）,书本,84,页课堂练习,（,3,）,（,4,）,2,、（,1,）,（,2,）,向 量 加 法,向 量 加 法,课堂小结：,向量加法的物理背景,向量的加法运算,向量加法的运算律,平行四边形法则,三角形法则,向 量 加 法,向量加法实际应用,向 量 加 法,向 量 加 法,下课,!,课后作业,:A,本,51,页,54,页,