理学连续函数

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,一、函数的连续性,自变量,函数值,为,自变量的改变量,为,函数值的改变量,可见,函数,在点,(1),在点,即,(2),极限,(3),连续必须具备三个下列条件,:,存在,;,有定义,存在,;,定义,5.1(,连续性,),设函数,在,内有定义,如果,左连续,右连续,左连续和右连续统称为,单侧连续,记作：,例,1,讨论下列函数在指定点处的连续性,解,(1),解,(2),右连续,不左连续,例,2,证,例,3,证,二、初等函数的连续性,定理,5.1,定理,5.3,严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数,.(,证明，略）,定理,5.2,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的,.,基本初等函数在其定义域内是连续的,.,一切初等函数在其,定义区间,内都是连续的,.,初等函数仅在其定义区间内,(,即定义域内的区间）连续,在其定义域内不一定连续,;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义,.,在,0,点的邻域内没有定义,.,注意,例如,初等函数求极限可用,代入法,.,在,在,三、函数的间断点及其分类,(1),函数,(2),函数,不存在,;,(3),函数,存在,但,不连续,:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则,下列情形,这样的点,之一,函数,f,(,x,),在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为,间断点,.,在,无定义,;,间断点分类,:,第一类间断点,:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点,:,及,中至少一个不存在,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为,可去间断点,.,为,跳跃间断点,.,为,无穷间断点,.,为,振荡间断点,.,例,4,可去间断点,例,5,例,6,为其,无穷间断点,.,例,7,这种情况称为,震荡间断点,.,在,无定义，,是间断点。,例,8,讨论,的连续性,。,是,的跳跃间断点。,是,的无穷间断点。,连续区间为,解,四 闭区间上连续函数的性质,记号,定理,4.4(,有界性定理,),定理,4.5(,最大值和最小值定理,),在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值,.,注意,:,1.,若区间是开区间,定理不一定成立,;,2.,若区间内有间断点,定理不一定成立,.,定义,2:,定理,4.6(,零点定理,),几何解释,:,定理,4.7(,介值定理,),几何解释,:,M,B,C,A,m,a,b,证,由零点定理,推论,4.1,在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值,.,例,1,证,由零点定理,例,2,证,由零点定理,例,3,证,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,在点,连续的等价形式,3.,一切初等函数在其,定义区间,内都是连续的,.,4.,闭区间上连续函数的性质,.,思考题,2.,讨论函数,间断点的类型,.,思考题解答,由于,但反之不成立,.,例,但,2.,x,=1,是第一类可去间断点,x,=2,是第二类无穷间断点,.,练 习 题,练习题答案,