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,作者：杨茂田,OfficeXp,版,量子物理,波函数,薛定谔方程 一维无限深势阱,P,.,#,/33,.,二十世纪,2030,年代，经过德布罗意、薛定谔、海森堡、玻恩、狄拉克等科学家的努力，建立了描述微观粒子运动规律的,量子力学,。,背景,波恩,薛定谔,海森伯,狄拉克,德布罗意,一、物质波波函数,微观领域常用实物粒子在空间出现的,概率分布,来描述其运动状态，该概率分布函数称为物质波的,波函数,。,波函数,记作,(,x,y,z,t,),，,常用,复数形式,来表示,!,A,:,称为该复数的,模,:,称为该复数的,幅角,A,:,称为该复数的,模,:,称为该复数的,幅角,例如，沿,+,x,方向传播的平面简谐波的波动方程：,也可用,复数形式,来表示：,例如，沿,+,x,方向传播的平面简谐波的波动方程：,也可用,复数形式,来表示：,(,x,),:,该波动方程的,定态波函,数,，不含时间变量。,(,x,),:,该波动方程的,定态波函,数,，不含时间变量。,如何构造物质波,波函数,(,x,y,z,t,),机械波强度：,I,A,2,（,A,为其在该处的振幅）。,用复数形式表示。则其振幅为,|,(,x,y,z,t,),|,。,概率密度,w,|,(,x,y,z,t,)|,2,如何构造物质波,波函数,(,x,y,z,t,),机械波强度：,I,A,2,（,A,为其在该处的振幅）。,用复数形式表示。则其振幅为,|,(,x,y,z,t,),|,。,仿此关系,，,物质波的强度,|,(,x,y,z,t,),|,2,，物质波的强度称作粒子在空间某点,(,x,y,z,),处出现的,概率密度,，记作,w,(,x,y,z,t,),:,粒子在,d,v,空间出现的概率：,dG,=,|,(,x,y,z,t,)|,2,d,v,概率密度,w,|,(,x,y,z,t,)|,2,粒子在,d,v,空间出现的概率：,dG,=,|,(,x,y,z,t,)|,2,d,v,若粒子只出现在一维空间，则其在,x,x+dx,空间出现的概率为：,dG,=,wdx,=|,(,x,t,)|,2,dx,若粒子只出现在一维空间，则其在,x,x+dx,空间出现的概率为：,玻恩,(,M.Born,，,1882-1970),德国物理学家，,1926,年提出波函数的统计意义，为此与博特,(,W.W.G Bothe,，,1891-1957),共享,1954,年诺贝尔物理学奖。,dG,=,wdx,=|,(,x,t,)|,2,dx,若粒子只出现在一维空间，则其在,x,x+dx,空间出现的概率为：,粒子在全空间出现的概率为,1,，即：,对于一维：,（,归一化条件,）,(,x,y,z,t,),必须满足,单值,、,连续,、,有限,条件（,标准,条件,）。,dG,=,wdx,=|,(,x,t,)|,2,dx,对于一维：,(,x,y,z,t,),必须满足,单值,、,连续,、,有限,条件（,标准,条件,）。,例,构造一维自由粒子的物质波波函数,(,x,t,),。,一维自由粒子,：不受任何外力作用、沿,+x,方向运动,的实物粒子。,设,：一平面简谐波沿,+x,方向传播，其波函数：,例,构造一维自由粒子的物质波波函数,(,x,t,),。,一维自由粒子,：不受任何外力作用、沿,+x,方向运动,的实物粒子。,设,：一平面简谐波沿,+x,方向传播，其波函数：,复数形式：,复数形式：,仿照上式,，缔合在一维自由粒子上的物质波波函数：,而,上式可写成：,仿照上式,，缔合在一维自由粒子上的物质波波函数：,而,上式可写成：,其中：,称为一维自由粒子的,定态波函数,。,其中：,称为一维自由粒子的,定态波函数,。,二、薛定谔方程,(,v,c,),对自由粒子：其定态波函数为,，则：,上式可应用到,非自由粒子,情形。,二、薛定谔方程,(,v,c,),对自由粒子：其定态波函数为,，则：,上式可应用到,非自由粒子,情形。,能量：,动量：,对非自由粒子,对非自由粒子,能量：,动量：,即：对非自由粒子,称为,一维定态薛定谔方程,。,三维定态薛定谔方程：,即：对非自由粒子,称为,一维定态薛定谔方程,。,三维定态薛定谔方程：,其中，,称为,拉普拉斯算符,。,薛定谔,(,Erwin,Schrdinger,，,1887-1961),奥,地利著名理论,物理学家，量,子力学的重要奠基人，同,时在固体比热、统计热力,学、原子光谱及镭的放射,性等方面的研究都有很大,成就。,1933,年与物理学家,狄拉克共同荣获诺贝尔物,理学奖。薛定谔还是现代,分子生物学的奠基人。,三、一维无限深势阱,设：一粒子被约束在,(,o,a,),一维空间，其势能函数为,根据定态薛定谔方程，势阱中粒子的概率波满足,根据定态薛定谔方程，势阱中粒子的概率波满足,根据边界条件：,由于粒子肯定出现在,(o,a),之间，,A,、,B,不能同时为零,:,根据边界条件：,由于粒子肯定出现在,(o,a),之间，,A,、,B,不能同时为零,:,上式表明,：势阱中的粒子的能量是量子化的，只能,取一组分立值。能量量子化是物质波粒,二象性的自然结果。,(,n,=1,2,3,称为,量子数,),粒子波函数为：,上式表明,：势阱中的粒子的能量是量子化的，只能,取一组分立值。能量量子化是物质波粒,二象性的自然结果。,(,n,=1,2,3,称为,量子数,),粒子波函数为：,由归一化条件,由归一化条件,粒子在势阱中的概率密度,w,n,为,:,归纳,:,粒子处于量子数为,n,的状态：,粒子在势阱中的概率密度,w,n,为,:,极大值：,波函数的驻波特点,处，波函数,的值皆为零。,波函数以,驻波形式存在势阱中,：,处，波函数,的值皆为零。,波函数以,驻波形式存在势阱中,：,波函数的驻波特点,势阱中粒子能量的量子化,从其驻波特点中也可自然,地得出。,*,四、对应原理,经典物理的规律与量子物理的规律似乎无共同之,处，但在忽略量子效应时，两者应该趋于一致。,例如,，在一维势阱中的粒子，两相邻能级的差为,能量可认为是连续的。,经典物理可以看成是量子物,理在量子数,n,时的极限,。,*,五、一维方势垒 隧道效应,设想,一维方势垒如图。一粒子处于,x,0,的区域。,量子物理,：粒子波函,数分布如图，粒子能,越过势垒到达,x,0,的,区域,。,称作,隧道效应,年，宾尼希和罗雷尔利用电子的隧道效应，制成了世界第一台扫描隧穿显微镜（,STM,）。,1986,年，宾尼希又在,STM,基础上研制成原子力显微镜（,AFM,）。,1981,The end,
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