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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,八年级数学下册,(,人教版,),第十八章 勾股定理,18.1 勾股定理（1）,八年级数学下册(人教版)第十八章 勾股定理18.1 勾股定,学习目标,1,、知识与技能,掌握勾股定理反映的数量关系；会用拼图法、面积法证明勾股定理；在生活实践中学会使用勾股定理。,2,、过程与方法,通过“观察,猜想,归纳,验证”过程理解勾股定理；学会从特殊到一般的数学思考方法。,3,、情感态度、价值观,通过实验、猜想、拼图、证明等了解数学知识的发生发展过程，学会合作交流，体验探究乐趣，增强探索意识；感受勾股定理的悠久历史，激发学习热情。,学习目标,除地球外，别的星球上有没有生命呢？,自古以来，人类就不断发出这样的疑问，特别是近年来不断出现的,UFO,事件，更让人们相信有外星人的说法，如果真的有，那我们怎么和他们交流呢？,我国著名数学家华罗庚在多年前曾提出这样的设想：向太空发射一种图形，因为这种图形在几千年前就已经被人类所认识，如果他们是“文明人”，也必定认识这种图形,.,一、创设情境,除地球外，别的星球上有没有生命呢？一、创设情境,那么这到底是一种什么样的图形呢？它真的有那么大的魅力吗？,下面就让我们通过时光隧道，和古希腊的数学家毕达哥拉斯一起来研究这种图形吧。,那么这到底是一种什么样的图形呢？它真的有那么大的,毕达哥拉斯,(,公元前,572-,前,492,年,),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。相传有一次他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了,A,、,B,、,C,三者面积之间的数量关系，,进而发现,直角三角形三边的某种数量关系,A,B,C,我们也来观察右图的地面，你能发现,A,、,B,、,C,面积,之间有什么数量关系吗？,S,A,+S,B,=S,C,每块砖都是等腰直角三角形哦,毕达哥拉斯(公元前572-前492年),古希腊著名的哲,（图中每个小方格是,1,个单位面积）,1.A,中含有,_,个小方格，,即,A,的面积是,个单位面积,B,的面积是,个单位面积,C,的面积是,个单位面积,9,9,18,9,探究一：,你能发现图,1,中正方形,A,、,B,、,C,的面积之间有什么数量关系吗？,二、实验探究,A,B,C,图,1,结论：,图,1,中三个正方形,A,，,B,，,C,的面积,之间的数量关系是,:,S,A,+S,B,=S,C,（图中每个小方格是1个单位面积）1.A中含有_个小方格,探究二：,S,A,+S,B,=S,C,在图,2,中还成立吗？,A,B,C,图,2,结论：,仍然成立。,A,的面积是,个单位面积,B,的面积是,个单位面积,C,的面积是,个单位面积,25,16,9,你是怎样得到正方形,C,的面积的？与同伴交流交流,（图中每个小方格是,1,个单位面积）,探究二：SA+SB=SC在图2中还成立吗？ABC图2结论：仍,A,B,C,问题,2:,式子,S,A,+S,B,=S,C,能用直角三角形的三边,a,、,b,、,c,来表示吗,?,问题,4:,那么直角三角形三边,a,、,b,、,c,之间的关系式是,:,a,b,c,至此，我们在网格中验证了,:,直角三角形,两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即,S,A,+S,B,=S,C,a,2,+b,2,=c,2,a,2,+b,2,=c,2,问题,1:,去掉网格结论会改变吗？,问题,3:,去掉正方形结论会改变吗？,ABC问题2:式子SA+SB=SC能用直角三角形的三边a、b,命题,1,：,如果直角三角形的两直角边长分别为,a,，,b,斜边长为,c,，那么,a,2,+b,2,=c,2,.,a,b,c,我们猜想：,命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，,是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚。,这就需要我们对一般的直角三角形进行证明下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家,赵爽,是怎样证明这个命题的,三、拼图证明,是不是所有的直角三角形都具有这样的结,以直角三角形的两条直角边,a,、,b,为边作两个正方形，把两个正方形如图,1,连在一起，通过,剪、拼,把它拼成图,2,的样子。,你能做到吗？试试看。,赵爽拼图证明法：,c,小组活动,：,仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方形，拼成一个新的正方形,.,图,1,黄实,朱实,朱实,朱实,朱实,图,2,c,以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两,黄实,朱实,朱实,朱实,朱实,b,a,M,N,P,剪、拼过程展示：,黄实朱实朱实朱实朱实b a MNP剪、拼过程展示：,赵爽弦图的证法,化简得：,c,2,=a,2,+b,2,赵爽弦图的证法化简得：c2=a2+b2,“,赵爽弦图,”,黄实,朱实,朱实,朱实,朱实,c,a,b,“赵爽弦图”黄实朱实朱实朱实朱实cab,“,赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲。因此，当,2002,年第,24,届国际数学家大会在北京召开时，“赵爽弦图”被选作大会会徽。,“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国,现在，我们已经证明了命题,1,的正确性，在数学上，经过证明被确认为正确的命题叫做定理，所以命题,1,在我国叫做,勾股定理,。,勾股定理：,如果直角三角形两直角边长分别为,a,、,b,斜边长为,c,，那么,a,2,+b,2,=,c,2,即：,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。,现在，我们已经证明了命题1的正确性，在数学上，经过,为什么叫勾股定理这个名称呢？,原来在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。于是我国古代学者就把直角三角形中较短直角边称为“勾”，较长直角边称为“股”，斜边称为“弦”,.,由于命题,1,反映的正好是直角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理。,勾,股,国外又叫,毕达哥拉斯定理,为什么叫勾股定理这个名称呢？原来在中国古代，人们把,其他证明方法,勾股定理是几何学中的明珠，它充满了无穷的魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有,500,余种。,其他证明方法 勾股定理是几何学中的明珠，它充满了无穷的,关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的文字资料是欧几里得（公元前,300,年左右）所著的,几何原本,第一卷中的命题,47,：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和”其证明是用面积来进行的,传说中毕达哥拉斯的证法,已知：如图，以在,Rt,ABC,中，,ACB,=90,，分别以,a,、,b,、,c,为边向外作正方形,求证：,a,2,+,b,2,=,c,2,关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的,S,矩形,ADNM,2S,ADC,又正方形,ACHK,和,ABK,同底（,AK,）,、,等高（即平行线,AK,和,BH,间的距离），,S,正方形,ACHK,2S,ABK,AD,AB,，,AC,AK,，,CAD,KAB,，,ADC,ABK,由此可得,S,矩形,ADNM,S,正方形,ACHK,同理可证,S,矩形,MNEB,S,正方形,CBFG,S,矩形,ADNM,S,矩形,MNEB,S,正方形,ACHK,S,正方形,CBFG,即,S,正方形,ADEB,S,正方形,ACHK,S,正方形,CBFG,，,也就是,a,2,+,b,2,=,c,2,传说中毕达哥拉斯的证法,证明：从,Rt,ABC,的三边向外各作一个正方形（如图），作,CN,DE,交,AB,于,M,，那么正方形,ABED,被分成两个矩形连结,CD,和,KB,返回,由于矩形,ADNM,和,ADC,同,底（,AD,）,，等高,(,即平行线,AD,和,CN,间的距离,),，,S矩形ADNM2SADC传说中毕达哥拉斯的证,刘徽在,九章算术,中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开方除之，即弦也,令正方形,ABCD,为朱方，正方形,BEFG,为青方在,BG,间取一点,H,，使,AH,=,BG,，裁下,ADH,，移至,CDI,，裁下,HGF,，移至,IEF,，是为“出入相补，各从其类”，其余不动，则形成弦方正方形,DHFI,勾股定理由此得证,刘徽的证法,返回,刘徽在九章算术中对勾股定理的证明：勾自乘,学过几何的人都知道勾股定理它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有,500,余种其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的事情的经过是这样的：,1876,年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为,3,和,4,，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是,5,呀”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为,5,和,7,，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于,5,的平方加上,7,的平方”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味,于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法,总统巧证勾股定理,学过几何的人都知道勾股定理它是几何中一个比较重要的定理,美国第二十任总统伽菲尔德,总统巧证勾股定理,a,a,b,b,c,c,A,D,C,B,E,美国第二十任总统伽菲尔德总统巧证勾股定理aabbccADCB,向常春的证明方法,注,:,这一方法是向常春于,1994,年,3,月,20,日构想发现的新法,a,b,c,b,a,-,b,A,D,C,B,E,c,向常春的证明方法 注:这一方法是向常春于1994年3,我们用拼图的方法来说明勾股定理是正确的,试 一 试,证明,:,上面的大正方形的面积为：,下面大的正方形的面积为：,从右图中我们可以看出，这两个正方形的边长都是,a,b,，所以面积相等，即,我们用拼图的方法来说明勾股定理是正确的试,（记住）勾股定理的各种表达式,：,在,RtABC,中，,C=90,A,、,B,、,C,的对边分别为,a,、,b,、,c,则,:,c,2,=a,2,+b,2,a,2,=c,2,-b,2,b,2,=c,2,-a,2,c=,a=,b=,a,b,c,B,C,A,（记住）勾股定理的各种表达式：在RtABC中，C=9,例题：,求出下列直角三角形中未知边的长度,.,解：（,1,）在,RtABC,中,由勾股定理得：,AB,2,=AC,2,+BC,2,X,2,=36+64,x,2,=100,x,2,=6,2,+8,2,x0,y,2,+5,2,=13,2,y,2,=13,2,-5,2,y,2,=144,y=12,（,2,）在,RtABC,中,由勾股定理得,:AC,2,+BC,2,=AB,2,y0,A,6,8,x,C,B,5,y,13,C,A,B,X=10,四、实践应用,方法总结：利用勾股定理建立方程,.,例题：求出下列直角三角形中未知边的长度.解：（1）在RtA,练习,1,：,图中已知数据表示面积，求表示边的未知数,x,、,y,的值,.,9,16,x,y,144,169,看谁算得快,练习1：图中已知数据表示面积，求表示
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