三角函数数学建模课件

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,2009.1.9,数学建模,三角函数,1,2009.1.9数学建模三角函数1,基础知识及应用,（,1,）在,中，若 ，则,（,3,）任意角三角函数的基本关系式：,（,4,）,的图象、周期、最值及增减性区间。,（,5,）两角和与差的三角函数：,（,2,）中,2,基础知识及应用（1）在 中，若,建模知识应用提示,凡与周期性振动有关或类似的问题，如电流、水波、声波、爆炸物爆炸后引起的振动等等，适宜建立三角函数模型。量的大小呈现周期性变化的问题，也可考虑建立三角函数模型。,一些与角有关的问题如视角、方位角，以及与旋转有关的问题也可以建立三角函数模型。,对于周期性变化的问题，一定要认真、准确、真实地搜集数据，要从不同渠道、不同角度去取得数据。,3,建模知识应用提示 凡与周期性振动有关或类似的问题，如电,牛刀小试,如图，甲船从点,A,处出发沿正北方向以每小时,30,海里的速度航行，点,B,在,A,的正北方向,100,海里处，乙船从点,B,出发，沿南偏东,60,的方向以每小时,40,海里的速度行驶，两船同时出发，经过,_,小时后，两船处于东西方向线上,A,B,C,D,北,4,牛刀小试如图，甲船从点A处出发沿正北方向以每小时30海里的速,例,1,在,45,的山坡上有一风景点，该风景点到达山脚有两条路，一条是笔直到达山脚的小路，另一条是与这小路成,45,夹角的直线公路若某辆汽车的最大爬坡度数为,n,，问,n,为何值时该汽车才能安全到达该风景点？,解：设风景点的位置为点,P,，坡面与地面交于直线,AB,，两条路所在直线分别与,AB,交于,R,、,Q,，,P,在地面上的射影为,O,，连结,PO,、,OQ,、,OR,，则,AB,OQ,，,PQO,=45,，,RPQ,=45,在,Rt,POQ,中，,PQ,=,OP,在,Rt,PQR,中，,RQ,=,PQ,=,OP,，,PR,=,PQ,=2,OP,所以，在,PRO,中，,sin,PRO,=,所以,PRO,=30,故当,n,最小为,300,时，汽车能驶达风景点,R,A,B,Q,O,P,5,例1在45的山坡上有一风景点，该风景点到达山脚有两条路，一,例,2,如图所示，有一条河,MN,，河岸的一侧有一很高建筑物,AB,一人位于河岸另一侧,P,处，手中有一个测角器,(,可以测仰角,),和一个可以测量长度的皮尺,(,测量长度不超过,5,米,),。,请你设计一种测量方案,(,不允许过河,),，并给出计算建筑物的高度,AB,及距离,PA,的公式希望在你的方案中被测量数据的个数尽量少,6,例2如图所示，有一条河MN，河岸的一侧有一很高建筑物AB,例,2,常见有两种测量方案。,方案,1,：,P,位于开阔地域，则测量方案如下图所示，被测量的数据为,PC(,测角器的高,),和,PQ(Q,为在,PA,水平直线上选取的另一测量点,),的长度，仰角,和,。,设,AB,为,x,，,PA,为,y,，则计算公式为,7,例2常见有两种测量方案。7,例,2,方案,2,：若,P,处也是一可攀登建筑物,(,如楼房,),，则可在同一垂线上选两个测量点,(,见图,3113),，被测数据为,PC,和,CD,的长度，仰角,和,设,AB,x,，,PA,y,，则计算公式为,说明：无论哪个方案都至少要测,4,个数据,8,例2方案2：若P处也是一可攀登建筑物(如楼房)，则可在同一垂,例,3,房间的门宽为,0.9,米，墙厚为,0.28,米今有一家具其水平截面如图，问能否把此家具水平地移入房间内,(,说明理由,),9,例3房间的门宽为0.9米，墙厚为0.28米今有一家具其,例,3,解法一,如图，墙厚,CD,0.28,米，家具的一边,AB,只要,h,不超过门宽,0.9,米，则家具可水平地搬入屋内,从图中可见,h,AEsin,，又,AE,AG,GF,FE,，其中,AG,0.48,，,GF,CDcos,0.28cos,，,FE,FCctg,0.48ctg,因此,h,AEsin,(0.48,0.28cos,0.48ctg)sin,0.48(sin,cos),0.28cossin,10,例3解法一 如图，墙厚CD0.28米，家具的一边AB只,如图，设鼠从,A,点跳入水中，开始一直往圆心,O,点游去，这时猫只能在,A,点处不动。鼠运动过,O,点后，猫开始沿图中大圆运动。以,O,为圆心再作一小圆，半径,r,是大圆半径,R,的,1/4,，此时鼠在小圆内始终向着猫和圆心连线的方向远离猫运动，因鼠的速度是猫的速度的,1/4,，鼠在小圆内沿曲线总能到达小圆周上的一点,M,，此时猫在大圆周上的,B,点。此后鼠沿,MN,直线运动到,N,点需时间,t1,，猫从,B,点到,N,点需时间,t2,。则：,例,4,一只老鼠为了躲避猫的追捕，跳入了半径为的圆形湖中猫不会游泳，只能沿湖岸追击，并且总是试图使自己离老鼠最近,(,即猫总是试图使自己在老鼠离岸最近的点上,),。设猫在陆地上的最大速度是老鼠在湖中游泳的速度的倍。问老鼠能否摆脱猫的追击,?(,如果老鼠上岸时猫不在老鼠上岸的位置，则认为老鼠摆脱了猫的追击,),因为,，所以鼠可以逃脱猫的追捕。,11,如图，设鼠从A点跳入水中，开始一直往圆心O点游去，这时猫只能,新方案：,其实，此题中运用了高中物理圆周运动的知识，只要鼠在半径小于,R/4,的圆内转动，它的角速度就比猫大。鼠从,A,点沿半径出发后，在进入,R/4,的圆内后就可开始转动，相同时间转过的角度就比猫大，总会到达离猫最远的地方（即比猫多转,1800,）。此后鼠在转动的同时，再逐渐扩大半径到,R/4,的圆周上，并保持与猫最远，此后再沿半径方向运动到岸边，猫一定追不上这只鼠的。,例,4,12,新方案：其实，此题中运用了高中物理圆周运动的知识，只要鼠在半,再见！,13,13,例,3,14,例314,