第一类曲面积分课件

感谢聆听 祝你成功！,21.2,第一类曲面积分的计算,引理,A,当,A,是矩形,且一边与,l,平行,则,也,是矩形,且,l,证,b,a,一,.,曲面的面积,引理A 当 A 是矩形,且一边与 l 平行,则,一般情况，将,A,分割成若干个上述类型的小矩形，对每一个用引理，然后迭加再取极限即可。,注,：,这里,即,两平面法矢量的夹角,A,l,b,a,一般情况，将A分割成若干个上述类型的小矩形，对每一个用引理，,x,z,y,O,z=f,(,x,y,),D,(,x,i,y,i,),P,i,.,xz yOz=f(x,y)D(xi,yi)Pi.,x,z,y,O,z=f,(,x,y,),D,.,(x,i,y,i,),i,A,i,(,由引理,),P,i,.,.,.,xz yOz=f(x,y)D.(xi,yi)i,a,由对称性，只考虑上半部分,.,x,y,O,z,福州大学,05,，,15,分,a由对称性，只考虑上半部分.xyOz福州大学05，15分,z=0,a,x,y,z,O,Viviani,曲线,D,.,x,2,+,y,2,+,z,2,=,a,2,z=0axyzOViviani曲线D.x2+y2+z2=,x,y,z,O,1,xyzO1,1,x,y,z,O,1,.,1xyzO1.,x,y,z,O,1,1,D,S,.,.,.,.,.,.,.,xyzO11DS.,a,a,x,z,y,O,设圆柱面为,考虑第一卦限,aaxz yO设圆柱面为考虑第一卦限,D,a,a,x,z,y,O,a,a,x,O,y,D,.,.,Daaxz yOaaxOyD.,2,x,z,y,O,2xzyO,x,z,y,2,问题：,曲面向哪个坐标面投影？,.,O,只能向,xoz,平面投影,xzy2问题：曲面向哪个坐标面投影？.O只能向xoz平面投影,x,z,y,2,得,z,=,2,D,xz,.,.,O,其中，,xzy2得 z=2Dxz.O其中，,x,z,y,2,D,xz,.,O,xzy2Dxz.O,a,y,x,z,O,ayxzO,x,y,z,O,D,S,=,共同的,D,:,.,xyzODS=共同的 D:.,设,D,为可求面积的平面有,具有连续的一阶偏导数，,所表示的曲面,S,的面积,.,(1),对区域,D,作分割,T,，把,D,分成,n,个小区域,.,这个分割相应地将曲面,S,也分成,n,个,小曲面片,(2),在每个,上任取一点,作曲面在这一点的切,现讨论由方程,界区域,在,D,上,设 D 为可求面积的平面有 具有连续的一阶偏导数，所表示,近,用切平面,代替,小,曲面片,从,而当,充分小时,有,并在,上取出一小块,使得,与,在,平面,这里,分别,平面上的投影都是,(,见下图,).,在点 附,近用切平面代替小 曲面片从而当 充分小时,有,(3),当,时,定义和式,的极限,(,若存在,),现在按照上述曲面面积的概念,来建立曲面面积的,计算公式,.,为此首先计算,的面积,.,由于切平面,的法向量就,是曲,面,S,在点,处的法向量,n,记它与,z,作为,S,的面积,.,的面积,.,表示,轴,的夹角为,则,(3)当 时,定义和式的极限(若存在)现在按照上,注意到和数,是连续函数,在有界闭域,D,注意到和数 是连续函数,上的积分和,于是当,时,上式左边趋于,而右边,趋于,这就得,或另一形式,:,到曲面,S,的面积计算公式,:,上的积分和,于是当 时,上式左边趋于 而右边趋于,解,据曲面面积公式,其中,D,是,曲面方程,例,1,求圆锥,在圆柱体,内,那一部分的面积,.,故,是,解 据曲面面积公式,其中 D 是 曲面方程 例,表示，其中,在,D,上具有连续的,一阶偏导数,且,若空间曲面,S,由参数方程,参数曲面的面积公式,表示，其中 在 D 上具有连续的 一阶偏导数,且,则曲面,S,在点,的法,线方向为,记,与,轴夹角的余弦则为,则曲面 S 在点 的法线方向为 记 与,其中,当,时,对公式,(2),作变换,:,其中 当时,对公式(2)作变换:,则有,由,(4),便得参数曲面,(,3,),的面积公式：,则有 由(4),便得参数曲面(3)的面积公式：,例,2,求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积,(,右图中阴影部分,).,解,设球面的参数方程为,:,其中,R,是,球面半径,.,这里是求当,时球面上的面积,.,由于,例2 求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积(右图中阴影,所以,由公式,(5),即得所求曲面的面积,:,注,在讨论曲线的弧长时,我们曾用弧内接折线长度,的极限来定义,(,当各段的长趋于零时,),但能否类似,所以 由公式(5)即得所求曲面的面积:注 在讨论曲线的,地用曲面的内接多边形面积的极限来定义曲面面积,呢,?,施瓦茨曾举出一个反例说明这样的定义方法是,不可行的，对此读者可参见有关的数学分析教程,(,如菲赫金哥尔茨,微积分学教程,中译本第三卷,第二分册,).,的面积公式，下面用二重积分给予严格证明,.,*,例,3,设平面光滑曲线的方程为,在上册的定积分应用中，曾用微元法给出过旋转面,地用曲面的内接多边形面积的极限来定义曲面面积 呢?施瓦茨曾,求证此曲线绕,轴旋转一周得到的旋转面的面积为,证,由于上半旋转面的方程为,因此,不妨设,则,求证此曲线绕 轴旋转一周得到的旋转面的面积为 证 由于上,第一类曲面积分课件,二、第一类曲面积分的计算,第一型曲面积分需要化为二重积分来计算,.,定理,1,设有光滑曲面,为,S,上的连续函数,则,(,定理证明与第一类曲线积分的计算定理类似,不再详述,.,),二、第一类曲面积分的计算第一型曲面积分需要化为二重积分来计算,例,4,计算,被,平面,所截,得的顶,部,(,右图,).,为,定义域,解,曲面,的方程为,圆,域,由于,例4 计算 被 平面 所截 得的顶部(右图).,因此,因此,例,5,计算,福州大学,2019,，,10,分,解,例5 计算 福州大学2019，10分解,例,6,计算,其中,为圆锥面,被圆柱面,所割,下的部分,(,右图,).,解,对于圆锥面,有,例6 计算 其中 为圆锥面 被圆柱面 所割 下的,因此,用二重积分的极坐标变换,在,平面上的投影为,而,因此用二重积分的极坐标变换,在平面上的投影为而,对于由参量形式表示的光滑曲面,对于由参量形式表示的光滑曲面,在,上第一型曲面积分的计算公式则为,其中,在上第一型曲面积分的计算公式则为 其中,螺旋面,(,右,图,),的一部分,:,例,7,计算,其中,S,为,解,先求出,螺旋面(右图)的一部分:例7 计算其中 S 为 解,然后由计算公式,求得,:,然后由计算公式 求得:,*,例,8,计算曲面积分,其中,是球面,解,(,解法一,),记,*例8 计算曲面积分其中是球面 解(解法一)记,根据计算公式,并使用极坐标变换,可得,根据计算公式,并使用极坐标变换,可得,(,解法二,),的参数方程为,按公式计算如下,:,(解法二)的参数方程为按公式计算如下:,第一类曲面积分课件,(,解法三,),令,由于,关于平面,对称,且在对称点,与,处有,因此,即,类似地,有,由此得到,(解法三)令 由于 关于平面 对称,且在对称点,第一类曲面积分课件,第一类曲面积分课件,