第七节二阶常系数线性微分方程ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七节 二阶常系数线性微分方程,一、二阶常系数齐次线性微分方程,二、二阶常系数非齐次线性微分方程,第七节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分,1,一、二阶常系数齐次线性微分方程,1、,定义,n,阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式,二,阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式,一、二阶常系数齐次线性微分方程1、定义 n 阶常系数线性微,2,2、二阶常系数齐次线性方程解法,-,特征方程法,将其代入上方程,得,故有,特征方程,特征根,2、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法将其代入上,3,(1),特征方程,有两个不相等的实根,两个线性无关的特解为:,得齐次方程的通解为,特征根为,(1)特征方程有两个不相等的实根两个线性无关的特解为:得,4,(2),特征方程,有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,(2)特征方程有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为,5,(3),特征方程,有一对共轭复根,特征根为,这时原方程有两个复数解:,可得,得齐次方程的通解为,(3)特征方程有一对共轭复根特征根为这时原方程有两个复数,6,二阶常系数齐次微分方程,求通解的一般步骤:,(1)写出相应的特征方程:,(2)求出特征根:,(3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,二阶常系数齐次微分方程,7,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为,特征方程法,.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特,8,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,解特征方程为解得故所求通解为例2,9,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例3,解特征方程为解得故所求通解为例3,10,例4,求解初值问题,解,特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,例4 求解初值问题解 特征方程有重根因此原方程的通解为利用,11,特征方程为,特征方程的根,通解中的对应项,推广：,阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为特征方程的根通解中的对应项推广：阶常系数齐次线性,12,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,解特征方程为解得故所求通解为例1,13,例2,解,特征方程：,特征根:,原方程通解:,例2 解 特征方程：特征根:原方程通解:,14,思考与练习,求方程,的,通解.,答案:,通解为,通解为,通解为,思考与练习求方程的通解.答案:通解为通解为通解为,15,二、二阶常系数非齐次线性微分方程,二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式,由线性微分方程的结构知:,非齐次线性微分方程的通解,=对应齐次线性微分方程的通解,+非齐次线性微分方程的一个特解,二、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程,16,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,f,(,x,),常见类型,难点：,如何求特解？,方法：,待定系数法.,二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构f(x)常见,17,1、,f,(,x,)=,P,m,(,x,),e,x,型,设,方程,特解为,其中,Q,(,x,)为,待定多项式,代入原,方程,得,1、f(x)=Pm(x)ex 型设方程特解为其中 Q(x,18,从而得到特解形式为,(2)若,是特征方程的,单根,为,m,次多项式,故特解形式为,(3)若,是特征方程的,重根,是,m,次多项式,故特解形式为,即,即,从而得到特解形式为(2)若 是特征方程的单根,为m,19,综上可得：(Page291),可设特解形式为,不是特征方程的,根,是特征方程的,单根,是特征方程的,二重根,注意,上述结论可推广到,n,阶常系数非齐次线性微分方程（,k,是重根次数）.,综上可得：(Page291)可设特解形式为 不是特征方,20,解,故对应齐次方程通解为,特征方程为,其特征根为,代入原方程,得,原方程通解为,例1,对应齐次方程为,解故对应齐次方程通解为特征方程为其特征根为代入原方程,得,21,解,故对应齐次方程通解为,特征方程为,其特征根为,代入原方程,得,原方程通解为,例2,对应齐次方程为,解故对应齐次方程通解为特征方程为其特征根为代入原方程,得,22,例3,解,特征方程为,特征根为,故对应齐次方程的通解为,对应齐次方程为,代入原方程,得,原方程通解为,例3解特征方程为特征根为故对应齐次方程的通解为对应齐次方程为,23,由,解得,所以原方程满足初始条件的特解为,由解得所以原方程满足初始条件的特解为,24,2、,f,(,x,)=,e,x,P,l,(,x,)cos,x,+,P,n,(,x,)sin,x,型,利用欧拉公式,求如下两方程的特解：,2、f(x)=exPl(x)cos x+Pn(,25,Page 293,注意,上述结论可推广到,n,阶常系数非齐次线性微分方程.,Page 293注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线,26,的通解,.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的,根,可设非齐次方程特解为,例1,的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,27,解,对应齐次方程为,例2,特征方程为,对应齐次方程通解为,特征根为,解对应齐次方程为例2特征方程为对应齐次方程通解为特征根为,28,第七节二阶常系数线性微分方程ppt课件,29,提示,对应齐次方程通解为,所求非齐次方程特解为,原方程通解为,例3,提示对应齐次方程通解为所求非齐次方程特解为原方程通解为例3,30,例4,解,对应齐次方程的特征方程为,特征根为,对应齐次方程的通解为,设原方程的特解为,例4解对应齐次方程的特征方程为特征根为对应齐次方程的通解为设,31,故原方程的通解为,故原方程的通解为,32,例5,例5,33,3、小结,二阶常系数非齐次微分方程特解形式：,(待定系数法),3、小结二阶常系数非齐次微分方程特解形式：(待定系数法),34,第七节二阶常系数线性微分方程ppt课件,35,练习,写出下列二阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,解,练习写出下列二阶常系数线性非齐次方程的特解形式:解,36,三、二阶常系数线性微分方程应用举例,三、二阶常系数线性微分方程应用举例,37,1、建立微分方程的基本条件,1)要熟悉能用导数表示的各种常见变化率.,1、建立微分方程的基本条件1)要熟悉能用导数表示的各种常,38,2)要熟悉与问题有关的各种定律、原理.,2)要熟悉与问题有关的各种定律、原理.,39,2、建立微分方程及求解的注意点,如果问题要求“运动规律”、“变化规律”等，,则需要用微分方程来解决问题.这时应根据,问题的特征利用已知定律来建立微分方程或,用微元法导出微分方程.,2)根据问题给出的特定时刻或位置的信息,写,出定解条件或确定解中的积分常数、比例,系数等.,3)要注意单位的统一.,2、建立微分方程及求解的注意点如果问题要求“运动规律”、“变,40,