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,精,*,返回,后页,前页,精,1,精1,一、欧式空间的定义及性质,1,、向量的内积,在,中，内积具有下列性质：,对称性,：,线性性：,精,2,一、欧式空间的定义及性质1、向量的内积在中，内积具有下列性,2,、线性空间的内积,定义,1,设,V,是,R,上线性空间，定义一个,V,到,R,的代数运算,.,V,对称性：,精,3,2、线性空间的内积定义1 设V是R上线性空间，定义一个V到,2),线性性：,3),恒正性：,当,则称这个代数运算为,V,的一个内积,且称,为向量,的内积,实线性空间,V,叫做对这个,内积来说的一个欧几里得空间,.(,欧氏空间,),3,、举例,精,4,2)线性性：3)恒正性：当 则称这个代数运算为,规定,精,5,规定 精5,向量空间,成的,我,例,3,令 是定义在 上一切连续实函数所,a,b,精,6,向量空间,成的我 例3 令 是定义,精,7,精7,欧氏空间,V,的内积具有以下基本性质,.,(2),证,证,精,8,欧氏空间V的内积具有以下基本性质.(2)证 证精8,例,是欧氏空间的,n,个向量，行列式,设,精,9,例 是欧氏空间的n个向量，行列式设精9,叫做,的格兰姆（,Gram,）行列式,.,证明,:,=0,，必要且只要,线性相交,.,证,必要性：,=0,知齐次线性方程组,由,精,10,叫做的格兰姆（Gram）行列式.证明:=0，必要且只要线性,必有非零解，设,为其一组非零解则有,二、向量的长度、两非零向量的夹角,定义,2,设,是欧氏空间的一个向量，非负实数,的算术根,叫做,的长,度,.,精,11,必有非零解，设为其一组非零解则有二、向量的长度、两非零向量的,定理,7.1.1,精,12,定理7.1.1 精12,即,于是,这就是著名的柯西,-,施瓦兹不等式,.,也可表示为,精,13,即 于是这就是著名的柯西-施瓦兹不等式.也可表示为精13,例,6,考虑例,1,的欧式空间 由不等式,(6),推出,对于,任意实数,精,14,例 6 考虑例 1 的欧式空间 由不等式(6)推出,对于精,有不等式,精,15,有不等式 精15,例,7,考虑例,3,的欧氏空间,Ca,b,，由不等式（,6,）,推出，对于定义在,a,b,上的任意连续函数,有不等式,（,8,）,(8),式称为施瓦兹,(Schwarz),不等式,.,（,7,）和（,8,）在欧氏空间的不等式（,6,）里被,统一 起来,.,因此通常把,(6),式称为柯西,-,施瓦兹,不等式,.,精,16,例7 考虑例3的欧氏空间Ca,b，由不等式（6）有不等,精,17,精17,三 向量的正交,记作,:,精,18,三 向量的正交记作:精18,所以,证,设,因为,精,19,所以 证 设因为,精19,根据柯西,-,施瓦兹不等式,我们有下面的三,角形不等式,.,思考题,1,：,设,是,n,维欧氏空间,V,中两个不同,的向量,且,证,因为,所以,证明,:,精,20,根据柯西-施瓦兹不等式,我们有下面的三思考题,当,时,(2),向量距离相关性质,:,精,21,当时,(2)向量距离相关性质:精21,证,(3),精,22,证 (3)精22,
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