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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,三、小结,第二节 二重积分的计算,一、利用直角坐标计算二重积分三、小结 第二节 二,如果积分区域为：,其中函数 、在区间 上连续,.,一、利用直角坐标系计算二重积分,X,型,如果积分区域为：其中函数 、,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,解,x,型区域的特点,：,从下往上看，入口曲线 和出口曲线均只有一条曲线或直线组成,x,型区域先定,x,的限,!,解 x型区域的特点：从下往上看，入口曲线,如果积分区域为：,Y,型,如果积分区域为：Y型,X,型区域的特点,：,穿过区域且垂直于,x,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,.,Y,型区域的特点,：,穿过区域且垂直于,y,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,.,X型区域的特点：穿过区域且垂直于x轴的直线与区域边界相,如果积分区域,D,可表示为,x,型,区域又可表示为,y,型,区域,且,f,(,x,y,),在,D,上连续，则有：,采用哪一种次序积分就取决于被积函数的结构,.,如果积分区域 D 可表示为x型区域又可表示为y型区域,解,积分区域如图,解积分区域如图,解,积分区域如图,解积分区域如图,解,解,解,解,解,解,CH+9-2+二重积分的计算课件,如果积分区域,D,不是,x,型,区域也不是,y,型,区域，可用平行坐标轴的直线段分割，把,D,分割为若干个两类标准区域，在每个标准区域上计算二重积分，再根据重积分对区域可加性，在各个标准区域上的积分之和就是,D,上的二重积分,.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割,.,如果积分区域 D 不是 x型 区域也不是 y型 区域,y,=2,x,x+y=,12,y=x,/2,y=2xx+y=12y=x/2,计算二重积分的几点说明：,1),化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由区域,D,的几何形状确定的，因此计算二重积分应先,画出积分区域,D,的图形,.,2),第一次积分的上、下限是,函数或常数,，而第二次积分中的上、下限一定是,常数,，且下限要小于上限,.,3),积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，且区域的划分要尽量地简单,.,计算二重积分的几点说明：1)化二重积分为二次积分的关键是,例,9,解,先去掉绝对值符号，如图,例9解先去掉绝对值符号，如图,利用二重积分可以计算平面图形的面积,.,利用二重积分可以计算平面图形的面积.,利用二重积分可以计算空间立体的体积,.,利用二重积分可以计算空间立体的体积.,利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分,利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分,CH+9-2+二重积分的计算课件,A,A,二、利用极坐标系计算二重积分,二、利用极坐标系计算二重积分,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（）区域特征,CH+9-2+二重积分的计算课件,CH+9-2+二重积分的计算课件,=0,法二,:,积分区域关于,x,轴对称,=0法二:积分区域关于x轴对称,解,解,CH+9-2+二重积分的计算课件,CH+9-2+二重积分的计算课件,x,y,xy,CH+9-2+二重积分的计算课件,CH+9-2+二重积分的计算课件,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择,积分次序,）,三、小结,Y,型,X,型,二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用,对称性,）,二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）,思考题,思考题,思考题解答,思考题解答,CH+9-2+二重积分的计算课件,思考题,思考题,思考题解答,思考题解答,练 习 题,练 习 题,CH+9-2+二重积分的计算课件,CH+9-2+二重积分的计算课件,CH+9-2+二重积分的计算课件,练习题答案,练习题答案,CH+9-2+二重积分的计算课件,
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