能带理论(共34张PPT)

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章能带理论,第一页，共34页。,将,T,(,),和,H,同时作用在任意函数,f,(,r,),上，,由于,2,在正交变换下形式不变，而坐标旋转、反演、反映等都是正交变换，所以，,第二页，共34页。,而电子的势能函数,U(,r,),应具有与晶格相同的对称性，即,由于,f,(,r,),是任意函数，所以,T(,),与,H,可对易,由此可以可得一个推论：若,n,k,(,r,),是晶体波动方程的解，那么，,T,(,),n,k,(,r,),也是方程的解，且,n,k,(,r,),与,T,(,),n,k,(,r,),有相同的能量本征值。,第三页，共34页。,在晶体中电子运动的本征态波函数为,Bloch,函数,这里,n,为能带标记，,k,为简约波矢，对应的能量本征值为,E,n,(,k,),。将,T,(,),作用在,n,k,(,r,),上得，,由于,是正交变换，因此，有,另外，由于 也是以,R,l,为周期的周期函数，,因此，可以改写为,第四页，共34页。,这表明，用,T(,),作用在,Bloch,函数的结果只是将简约波矢,k,变换到另一个简约波矢,k,。根据上面的推论，它们应具有相同的能量本征值。所以，有,这表明，在,k,空间中,E,n,(,k,),具有对称性，将,取遍晶体点群的所有对称操作，上式都成立。于是，我们就证明了，,在,k,空间中,E,n,(,k,),具有与晶体点群完全相同的对称性。,第五页，共34页。,另外，由于在晶体中电子运动的哈密顿算符,是实算符，,H,*,H,，所以，如果,n,k,(,r,),是方程的解，那么,*,n,k,(,r,),也是方程的解，且这两个解具有相同的能量本征值。即,在晶体中，,第六页，共34页。,另一方面，用,k,取代,k,，得,需要指出的是，这个结论不依赖于晶体的点群对称性，不管晶体中是否有对称中心，在,k,空间中,E,n,(,k,),总是有反演对称的。这实际上是时间反演对称性的结果。,从以上讨论可以看出，,对于同一能带,，有,来自于晶格的周期性,来自于晶体的点群对称性,来自于时间反演对称性,第七页，共34页。,P,P,P,k,x,k,y,以二维正方晶格为例，二维正方晶格的点群是,C,4V,(4mm),所以，对于一般位置,P,，在简约区中共有,8,个点与,P,点对称,相关。在这些点，电子都有相同的能量,E,n,(,k,),。因此，我们只需研究清楚简约区中,1/8,空间中电子的能量状态，就可以知道整个,k,空间中的能量状态了。我们将这部分体积称为简约区的不可约体积。依此类推，对于立方晶系的,O,h,(m3m),点群，只需研究,(1/48),b,即可。,第八页，共34页。,沿布里渊区边界面的法线方向上，,对金属，由于EKBT，所以，在T0时，只有费米面附近的少量电子受到热激发，其费米半径的相对变化为,对于简单晶格，每个原胞中只有一个原子，则晶体的价电子总数为,在晶体中电子运动的本征态波函数为Bloch函数,另外，由于 也是以Rl为周期的周期函数，,这时，简约区中等价波矢量数就少于点群的阶数。,考虑周期场的影响，在近自由电子情况下，周期场的影响主要表现在布里渊区边界附近，而离布里渊区边界较远处，周期场对电子运动的影响很小。,第二十三页，共34页。,这时，简约区中等价波矢量数就少于点群的阶数。,简约区中近自由电子的费米面,k=k 或 k=k+Gl,第二十三页，共34页。,(1,1)(1,1),在晶体中电子运动的本征态波函数为Bloch函数,由于是正交变换，因此，有,在k空间中，En(k)具有反演对称性，En(k)En(k),X,Z,M,k,x,k,y,-,/a,/a,-,/a,对于一般位置,k,，简约区中对称相关的波矢量数就等于点群的阶数。但若,k,在简约区中的某些特殊位置（对称点、对称轴或对称面）上，即在晶体点群中，存在某些对称操作，使得,k,=,k,或,k,=,k,+,G,l,这时，简约区中等价波矢量数就少于点群的阶数。在二维正方晶格的简约区中，,k,有以下特殊位置：,第九页，共34页。,M,X,R,Z,S,T,简单立方晶格的简约区中,k,的特殊位置：,第十页，共34页。,二、自由电子的能带,自由电子的能量为,这里，,k,为广延波矢，不一定在简约区中，但我们一定可以找到唯一一个倒格矢,G,n,使得,k,为简约波矢。,1.,一维情况,k,为简约波矢,第十一页，共34页。,为简单，取,k,的单位为,E,n,(0),(k),的单位为,第一能带：,n=1,，,n=0,相应波函数：,第二能带：,n=2,，,n=,1,相应波函数：,第三能带：,n=3,，,n=1,相应波函数：,第十二页，共34页。,2.,二维情况：,例：二维正方晶格的简约区中沿,X,（即,k,x,）轴作出,E,n,(0),(,k,),曲线。,为简单，取,k,x,、,k,y,的单位为,E,n,(0),(,k,),的单位为,X,Z,M,k,x,k,y,-,/a,/a,-,/a,在,X,轴上，,k,y,=0,第十三页，共34页。,(0,0),(1,0),(1,0),（,1,）,1,，,(1,1),(0,1)(0,1),(1,1)(1,1),相应的波函数为,显然，当,n,1,和,n,2,的绝对值最小时，相应的能量最低。,（第一布里渊区）,（单）,相应的波函数：,第十四页，共34页。,第一近邻倒格点：,（单）,波函数：,（双）,波函数：,（单）,波函数：,第十五页，共34页。,第二近邻倒格点：,（双）,相应的波函数：,（双）,相应的波函数：,第十六页，共34页。,L,X,U,K,L,X,U,K,Energy(eV),L,X,U,K,第十七页，共34页。,6.6,能态密度和费米面,一、能态密度,1.,定义,能态密度：,dS,dk,k,x,k,y,E,E+dE,dZ,为能量在,E,E,+,dE,两等能面间的能态数（考虑了电子自旋），即能态密,度为能带中单位能量间隔内的电子能态数。,dZ,=2,(,k,)(,k,空间中能量在,E,E,+,dE,两等能面间的体积,),第十八页，共34页。,2.,近自由电子的能态密度,对于自由电子：,在,k,空间中，能量为,E,的等能面是半径为,的球面，在球面上,第十九页，共34页。,考虑周期场的影响，在近自由电子情况下，周期场的影响主要表现在布里渊区边界附近，而离布里渊区边界较远处，周期场对电子运动的影响很小。,以简单立方晶体为例，考察第一布里渊区中等能面的一个二维截面。在布里渊区边界面的内外侧附近各作一个自由电子的等能面（球面）。,第二十页，共34页。,0,Q,Q,P,N,M,M,在布里渊区边界面的内侧：,对自由电子：,E,P,(0),=E,Q,(0),考虑周期场的影响：,E,Q,(0),E,Q,，,E,P,(0),E,P,所以，,E,P,E,Q,在布里渊区边界面的外测：,对自由电子：,E,N,(0),=E,M,(0),考虑周期场影响后，,E,M,(0),E,M,，,E,N,(0),E,N,，即，考虑周期场影响后，,E,M,E,N,。,所以，考虑周期场影响后，在布里渊区边界面的内侧与外侧等能面均形成向外突出的凸面。,第二十一页，共34页。,近自由电子的等能面,近自由电子的能态密度,E,A,第二十二页，共34页。,N,(,E,),N,(,E,),E,B,E,B,E,C,E,C,E,E,当,E,C,E,B,时,，,出现能带重叠；,当,E,C,K,B,T,，所以，在,T0,时，只有费米面附近的少量电子受到热激发，其费米半径的相对变化为,在室温下，这个比值约为,10,2,，因此，可以认为金属的费米面基本上与,T,无关。,第二十六页，共34页。,1.,费米面的构造步骤,根据晶体结构画出倒易空间中扩展的布里渊区图形；,按电子浓度求出相应的费米半径，并作出费米球 （或费米园）；,将处在各个布里渊区中的费米球（园）分块按倒格矢 平移到简约区中，来自第,n,个布里渊区的对应于第,n,个 能带，于是在简约区中得到对应于各个能带的费米面 图形；,按照近自由电子作必要的修正。,第二十七页，共34页。,2.,修正的依据,电子的能量只在布里渊区边界附近偏离自由电子能量，等能面在布里渊区边界面附近发生畸变，形成向外突 出的凸包；,等能面几乎总是与布里渊区边界面垂直相交；,费米面所包围的总体积仅依赖于电子浓度，而不取决 于电子与晶格相互作用的细节；,周期场的影响使费米面上的尖锐角圆滑化。,第二十八页，共34页。,证明在一般情况下，等能面与布里渊区边界面垂直相交：,在,k,空间中，,E,n,(,k,),具有反演对称性，,E,n,(,k,),E,n,(,k,),又由于,E,n,(,k,),的平移对称性，,E,n,(,k,),E,n,(,k,G,n,),在布里渊区边界面附近，将,k,分解为,k,k,k,，由于布里渊区边界面是倒格矢的垂直平方面，所以，在布里渊区边界面上，有,第二十九页，共34页。,沿布里渊区边界面的法线方向上，,如果沿一个边界面的法线方向上处处都有,那么，与该边界面相交的等能面必与此边界面垂直。,第三十页，共34页。,例：二维正方晶格近自由电子的费米面图形。,设二维晶格的晶格常数为,a,，晶体的原胞数为,N,，,k,的分布密度：,如果晶体中平均每个原子有,个价电子，称其电子浓度为,电子,/,原子。对于简单晶格，每个原胞中只有一个原子，则晶体的价电子总数为,第三十一页，共34页。,其中,为简约区的内切园半径,电子浓度,k,F,/,k,1,1,0.798,2,1.128,3,1.382,4,1.596,5,1.784,6,1.954,k,x,k,y,第三十二页，共34页。,简约区中自由电子的费米面,=1,第一能带,=2,3,=4,5,6,第二能带,第三能带,第四能带,第三十三页，共34页。,简约区中近自由电子的费米面,=1,第一能带,=2,3,=4,5,6,第二能带,第三能带,第四能带,第三十四页，共34页。,