隐式差分方程正规版资料

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,隐式差分(ch fn)方程课件,第一页，共16页。,与显式差分格式不同，隐式差分格式中包括了（n+1）时间层上二个或二个以上结点处的未知值（例如 ），使用隐式差分格式和使用显式差分格式求解完全不同。相对而言，使用隐式差分格式求解，每时间层包含有较多的计算工作量。从后面对差分格式的稳定性分析可知，隐式格式的优点在于，其稳定性要求对步长比的限制(xinzh)大为放宽，而这正是我们所期望的。,第二页，共16页。,现在对热传导方程,推导其最简单的隐式差分逼近古典隐式格式。由,故,式中左边(zu bian)如果仅保留二阶导数项，且以 替代 ，则得差分格式,或者 （2.41）,格式用图2.5表示，其截断误差阶为 ,与古典差分格式相同。,图2.5：,第三页，共16页。,为了求得第（n+1）时间层上的 的值，必须通过解线性代数方程组。这是一个隐式差分格式，必须联合其初边值条件求解。格式（2.41）通常称为古典(gdin)隐式格式。,我们也可以通过直接用差分算子代替 的方法，即,代入微分方程，得到格式（2.41）。,第四页，共16页。,Crank-Nicolson隐式差分格式(g shi)是解热传导方程（2.26）的常用的差分格式(g shi)，为了推导它，由式（2.24），有,由,得,（2.42）,两边仅保留前二项，用 代替 ，则得差分格式(g shi),（2.43）,这是一个隐式差分格式(g shi)，称为Crank-Nicolson差分格式(g shi)，截断误差阶为 ，也可写为,第五页，共16页。,（2.44）,由于(yuy)格式（2.44）中包括六个结点，故也可称为六点格式（如图2.6所示）。,图2.6,也可将,代入微分方程（2.26），得到Crank-Nicolson格式。,第六页，共16页。,基于如同Crank-Nicolson格式一样的六个网格结点可获得另一精度较高的差分(ch fn)格式，如在前式（2.42）中仅保留直到 的项，即有,则可得,代入上式，则有如下差分(ch fn)格式：,（2.45）,它称为Douglas差分(ch fn)格式，具有截断误差阶,。,第七页，共16页。,例2.1 解初边值问题,第八页，共16页。,应用（1）Crank-Nicolson差分格式，（2）Douglas差分格式解上述问题。对每一种情况(qngkung)，令 （r的这个值对Douglas格式有最小的截断误差），由初值条件和边值条件通过上述二个格式的每一个逐层求出 的值。一般而言，当由第n层去求第（n+1）层的解时，二个格式的每一个都需解一线性代数方程组，其系数是三对角阵，可用追赶法求解（见2.4）。已知上述定解问题的理论解，记为 ，有,记 分别为用高速数字计算机解出的Crank-Nicolson格式的解，而 分别表示它们对精确解的误差，在 ，时间层n上，。,它们的值由表2.2给出。,第九页，共16页。,0.994 497 915 630,0.000011,0.000 000 000 026,0.489 026 104 192,0.000 022,-0.000 000 000 051,0.978 172 634 773,0.000 040,-0.000 000 000 101,0.956 821 703 419,0.000 079,-0.000 000 000 198,0.915 507 772 134,0.000 151,-0.000 000 000 379,0.643 146 895 793,0.000 531,-0.000 000 000 331,0.413 637 929 568,0.000 683,-0.000 000 001 712,0.171 096 336 778,0.000 564,-0.000 000 001 417,0.629 273 956 459,0.000 194,-0.000 000 000 485,0.012 108 818 740,0.000 100,-0.000 000 000 257,表2.2,第十页，共16页。,前面，我们已经推导了热传导方程（2.26）的古典显示格式，古典显示格式及Crank-Nicolson格式等。实际上，它们都可以作为本节推导的加权六点隐式格式的特殊情形。,由,得,即,两边(lingbin)去掉高于二阶导数的项，且用 代替 ，则得差分格式,或者 （2.46）,这是一个六点差分格式（如图2.7所示），称为加权六点差分格式。,第十一页，共16页。,显然，当 时，加权六点格式为古典(gdin)显示格式；,当 时，加权六点格式为Crank-Nicolson隐式格式；,当 时，加权六点格式为古典(gdin)隐式格式。,加权六点格式亦可直接由差商代替导数得到,图2.7：,第十二页，共16页。,相对而言，使用隐式差分格式求解，每时间层包含有较多的计算工作量。,代入上式，则有如下差分(ch fn)格式：,隐式差分(ch fn)方程课件,5表示，其截断误差阶为 ,与古典差分格式相同。,例2.,（2.,（2.,显然，当 时，加权六点格式为古典(gdin)显示格式；,也可将,26）的古典显示格式，古典显示格式及Crank-Nicolson格式等。,精品(jn pn)课件！,26）的常用的差分格式(g shi)，为了推导它，由式（2.,与显式差分格式不同，隐式差分格式中包括了（n+1）时间层上二个或二个以上结点处的未知值（例如 ），使用隐式差分格式和使用显式差分格式求解完全不同。,代入上式，则有如下差分(ch fn)格式：,两边仅保留前二项，用 代替 ，则得差分格式(g shi),000 000 000 257,考虑方程(fngchng)（2.47）,的差分逼近。,已知,由其Taylor展开式可得,据此，可得,（2.48）,令,代入式（2.48），则,因此得差分方程(fngchng),第十三页，共16页。,精品(jn pn)课件！,第十四页，共16页。,44）中包括六个结点，故也可称为六点格式（如图2.,代入微分方程，得到格式（2.,两边仅保留前二项，用 代替 ，则得差分格式(g shi),显然，当 时，加权六点格式为古典(gdin)显示格式；,从后面对差分格式的稳定性分析可知，隐式格式的优点在于，其稳定性要求对步长比的限制(xinzh)大为放宽，而这正是我们所期望的。,（2.,表2.,由于(yuy)格式（2.,42）中仅保留直到 的项，即有,精品(jn pn)课件！,当 时，加权六点格式为Crank-Nicolson隐式格式；,413 637 929 568,956 821 703 419,两边(lingbin)去掉高于二阶导数的项，且用 代替 ，则得差分格式,显然，当 时，加权六点格式为古典(gdin)显示格式；,5表示，其截断误差阶为 ,与古典差分格式相同。,精品(jn pn)课件！,第十五页，共16页。,这是一个(y)隐式差分格式（如图2.8所示）。,图2.8,第十六页，共16页。,