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*,*,1.2,命题及其关系、充分条件与必要条件,高考数学,考点一命题及其关系,1.命题:可以判断真假的语句叫做命题.,2.一般地,用p和q分别表示原命题的条件和结论,用p和q分别表示p和q的否认,于是四种命题的形式如下:,原命题:假设p,那么q(pq);,逆命题:假设q,那么p(qp);,否命题:假设p,那么q(pq);,逆否命题:假设q,那么p(qp).,知识清单,3.四种命题的关系,4.原命题的真假与其他三种命题的真假有如下四种关系:,a.原命题为真,它的逆命题不一定为真;,b.原命题为真,它的否命题,不一定,为真;,c.原命题为真,它的逆否命题一定为真;,d.逆命题为真,否命题,一定,为真.,考点二充分条件与必要条件,1.“假设p,那么q是真命题,即pq;“假设p,那么q为假命题,即p q.,2.(1)假设pq,那么p是q的充分条件;,(2)假设qp,那么p是q的必要条件;,(3)假设pq,但p q,那么p是q的充分不必要条件;,(4)假设p q,但pq,那么p是q的必要不充分条件;,(5)假设pq,且pq,那么p是q的充要条件;,(6)假设p q,且p q,那么p是q的既不充分也不必要条件.,3.从集合角度理解,假设p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A=x|p(x),B=x|q(x),那么关于充分、必要条件又可表达为:,假设AB,那么p是q的充分条件;,假设AB,那么p是q的必要条件;,假设A=B,那么p是q的充要条件;,假设AB,那么p是q的充分不必要条件;,假设AB,那么p是q的必要不充分条件;,假设AB,且AB,那么p是q的既不充分也不必要条件.,命题真假判断的解题策略,1.逆命题、否命题与逆否命题也可以表达为:,(1)交换原命题的条件和结论,所得的新命题就是原命题的逆命题.,(2)同时否认命题的条件和结论,所得的新命题就是原命题的否命题.,(3)交换命题的条件和结论,并且同时否认,所得的新命题就是原命题的逆否命题.,2.常用的正面表达词语及其否认词语,方法技巧,方法,1,正面词语,等于,大于,小于,是,否定词语,不等于,不大于,不小于,不是,正面词语,都是,任意的,所有的,任两个,否定词语,不都是,某个,某些,某两个,正面词语,至多有一个,至少有一个,至多有,n,个,否定词语,至少有两个,一个也没有,至少有,n,+1个,3.命题真假的判断,(1)判定一个命题是真命题,要通过严格的推理论证,而要说明一个命题是假命题,只需举一反例.,(2)利用“等价命题判断真假,由于互为逆否的两个命题是等价命题,它们同真或同假,所以当一个命题不易直接判断真假时,可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.,例1(2021浙江嘉兴根底测试,4)对于空间的三条直线m,n,l和三个平面,以下命题为假命题的是(),A.假设m,n,那么mn B.假设,m,那么m,C.假设,=l,那么l D.假设m,n,那么mn,D,解题导引,由线面垂直的性质和面面平行的性质知A,B正确由面面垂直的性质,和线面垂直的判定与性质知C正确举反例知D错,解析由线面垂直的性质知,A正确.由面面平行的性质知,B正确.对于选项C,在平面内任取一点P,过点P分别作平面,的垂线b,c,由l和b,得bl,同理有cl,故l,即C正确.D选项,直线m,n还可能异面,相交.应选D.,由命题真假求相应参数的取值范围的解题策略,对于简单命题的真假,求参数范围问题,常转化为恒成立问题解决.,例2命题p:“对于任意的实数x,存在实数m,使得4x-2x+1+m=0,且命题p是假命题,那么实数m的取值范围为.,方法,2,解题导引,当命题,p,是真命题时,求出实数,m,的取值范围当命题,p,是假命题时得结论,解析设t=2x,那么t0,所以f(t)=-4x+2x+1=-t2+2t在区间(0,1上为增函数,在区间1,+)上为减函数,那么对于任意的实数x,有-4x+2x+11,当命题p是真命题时,有m=-4x+2x+11.从而当命题p是假命题时,实数m的取值范围为m1.,答案,m,1,充要条件的解题策略,1.判断命题的充要关系有三种方法:,(1)定义法:直接判断“假设p,那么q“假设q,那么p的真假.,(2)等价法:利用AB与BA,BA与AB,AB与BA的等价关系判断.对于条件或结论是否认形式的命题,一般运用等价法.,(3)利用集合间的包含关系判断:假设AB,那么A是B的充分条件或B是A的必要条件;假设A=B,那么A是B的充要条件.,2.充分必要条件,求参数值(范围)问题,常利用集合间的关系,列出关于参数的不等式(组)求解.,例3(2021浙江名校新高考研究联盟测试一,3)在ABC中,“,0是“ABC为锐角三角形的(),方法,3,A.充分不必要条件,B.必要不充分条件,C.充分必要条件,D.既不充分也不必要条件,例3(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,3)在,ABC,中,“,0”是“,ABC,为锐角三角形”的,(),B,解题导引利用向量数量积的性质和充要条件判断得结论.,解析由,0可知角,A,为锐角,但不能确保,ABC,为锐角三角形,故,充分性不成立;反之,若,ABC,为锐角三角形,则角,A,为锐角,故,0,必要性成立.故选B.,例4(2021浙江模拟训练卷(一),1)p:-2x6;q:-1+mx3+m,假设p是q的必要不充分条件,那么实数m的取值范围是(),A.(-1,3)B.-1,3,C.(-,-1)(3,+)D.(-,-13,+),B,解题导引,把必要不充分条件转化为集合关系,利用集合间的包含关系得结论,解析依题意有,q,p,但,p,/,q,即,x,|-1+,m,x,3+,m,x,|-2,x,6,则有,得-1,m,3.故选B.,
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