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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,阶,段,一,阶,段,三,第2课时,函数的最大(小)值,学,业,分,层,测,评,阶,段,二,1,理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义(重点),2了解函数的最大(小)值与定义区间有关，会求一次函数、二次函数及反比例,函数在指定区间上的最大(小)值(重点、难点),基础初探,教材整理函数的最大(小)值,阅读教材P,30,至“例3”以上部分，完成下列问题,最大值,最小值,一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于,任意的xI，都有,条件,f(x),M,f(x),M,存在x,0,I，使得,f(x,0,),M,结论,称M是函数yf(x)的最大值,称M是函数yf(x)的最小值,几何意义,f(x)图象上最高点的_,纵坐标,f(x)图象上最低点的_,纵坐标,1,1函数f(x)x，x1,0)(0,2(),1,A,有最大值2，最小值1,1,B,有最大值2，无最小值,无最大值，有最小值1,C,D,无最大值，也无最小值,1,【解析】,函数f(x)x在1,0)上单调递减，在(0,2上也单调递减，所以无,最大值，也无最小值，故选D.,【答案】,D,2函数f(x)x,2,2x2，x1,2的最小值为_；最大值为_,【解析】,因为f(x)x,2,2x2(x1),2,1，x1,2，所以f(x)的最小值,为f(1)1，最大值为f(1)5.,【答案】,1,5,小组合作型,利用函数的图象求函数的最值(值域),画出函数yx|x1|的图象，并求其值域,【精彩点拨】,先把yx|x1|化成分段函数的形式，再画出其图象，并由图,象求值域,1，x1,【自主解答】,yx|x1|,2x1，x1，,画出该函数的图象如图所示,由图可知，函数yx|x1|的值域为(，1,1,函数的最大值、最小值分别是函数图象的最高点、最低点的纵坐,标对于图象较容易画出来的函数，可借助于图象直观的求出其最,值，但画图时要求尽量精确,2,利用图象法求函数最值的一般步骤,作图象找图象的最高点和最低点,确定最高点和最低点的纵坐标确定最值,再练一题,3x,2,，x1，2,1已知函数f(x),x3，x2，5.,(1)在如图1-3-2给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；,(2)写出f(x)的单调递增区间及值域.,图1-3-2,【解】,(1)图象如图所示：,(2)由图可知f(x)的单调递增区间为1,0)，(2,5，值域为1,3,利用函数的单调性求最值(值域),4,求函数f(x)xx在1,4上的最值,【精彩点拨】,先利用单调性的定义判断函数的单调性，再根据单调性求最,值即可,4,4,【自主解答】,设1x,1,x,2,2，则f(x,1,)f(x,2,)x,1,x,x,2,x,x,1,x,2,1,2,4x,2,x,1,4,12,x,1,x,2,4,x,1,x,2,x,1,x,2,4,xx,(x,1,x,2,),1xx,(x,1,x,2,),xx,xx,.,1,2,1,2,1,2,1x,1,x,2,2，x,1,x,2,0，x,1,x,2,40，f(x,1,)f(x,2,)，f(x)是减函,数,同理f(x)在(2,4上是增函数,当x2时，f(x)取得最小值4，当x1或x4时，f(x)取得最大值5.,函数的单调性与其最值的关系,1若函数f(x)在闭区间a，b上是减函数，则f(x)在闭区间a，b上的最大,值为f(a)，最小值为f(b),2若函数f(x)在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在闭区间a，b上的最大,值为f(b)，最小值为f(a),3求函数的最值时一定要注意所给的区间是闭区间还是开区间，若是开区,间，则不一定有最大值或最小值,再练一题,1,2已知函数f(x)x2，,(1)判断f(x)在3,5上的单调性，并证明；,(2)求f(x)在3,5上的最大值和最小值,【解】,(1)f(x)在3,5上为减函数,证明：任取x,1,，x,2,3,5，有x,1,x,2,，,1,1,x,2,x,1,f(x,1,)f(x,2,)x2x2x2x2.,1,2,1,2,x,1,x,2,，x,2,x,1,0.,又x,1,，x,2,3,5，(x,1,2)(x,2,2)0，,x,2,x,1,x2x20，f(x,1,)f(x,2,)0，,即f(x,1,)f(x,2,)，,f(x)在3,5上是减函数,1,2,(2)f(x)在3,5上是减函数，,f(x)在3,5上的最大值为f(3)1，,1,f(x)在3,5上的最小值为f(5)3.,函数最值的实际应用,某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每,日115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租,出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆,规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整,数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y表示出,租所有自行车的日净收入(即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所,得),(1)求函数yf(x)的解析式及定义域；,(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多,为多少元？,【精彩点拨】,(1)函数yf(x)出租自行车的总收入管理费；当x6时，,全部租出；当6x20时，每提高1元，租不出去的就增加3辆，所以要分段求出,解析式；,(2)由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的,最大值,【自主解答】,(1)当x6时，y50 x115，令50 x1150，解得x2.3.,xN，3x6，且xN.,综上可知y,3x,2,68x115，6x20，xN.,当6x20时，y503(x6)x1153x,2,68x115，,综上可知y,3x,2,68x115，65，,假定该产品产销平衡(即生产的,产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：,(1)写出利润函数yf(x)的解析式(利润销售收入总成本)；,(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？,【解】,(1)由题意得G(x)2.8x.,0.4x,2,4.2x0 x5,R(x),11x5，,8.2xx5.,f(x)R(x)G(x),8.2xx5.,0.4x,2,3.2x2.80 x5,(2)当x5时，函数f(x)递减，,f(x)f(5)3.2(万元),当0 x5时，函数f(x)0.4(x4),2,3.6，,当x4时，f(x)有最大值为3.6(万元),所以当工厂生产4百台时，可使盈利最大为3.6万元,(2)因为f(x)在区间1,1上单调递减，在1,2上单调递增，则f(x)在区间,1,2上的最小值为f(1)1，又因为f(1)5，f(2)2，f(1)f(2)，所以f(x)在区间,1,2上的最大值为f(1)5.,(3)因为f(x)在区间2,3上单调递增，所以f(x)在区间2,3上的最小值为f(2),2，最大值为f(3)5.,探究2,你能说明二次函数f(x)ax,2,bxc的单调性吗？若求该函数f(x)在,m，n上的最值，应考虑哪些因素？,b,b,【提示】,当a0时，f(x)在,，2a,上单调递减，在,2a，,上单,调递增；,b,b,当a2，即a1时，f(x)的最大值为f(0)1.,2,1,(2)当a1时，f(x)xx1，其图象的对称轴为x2，,1,2,当t2时，f(x)在其上是增函数，f(x),min,f(t)tt1；,1,1,当t12，即t2时，f(x)在其上是减函数，,1,2,3,2,f(x),min,f(t1),t2,4tt1；,1,1,1,1,1,当t2t1，即2t2时，函数f(x)在,t，2,上单调递减，在,2，t1,上单,1,3,调递增，所以f(x),min,f,2,4.,探求二次函数的最值问题，要根据函数在已知区间上的单调性求解，特别,要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已,知区间上最值问题的主要依据，如果二者的位置关系不确定，那么就应对,其位置关系进行分类讨论来确定函数的最值.,再练一题,4求f(x)x,2,2ax1在区间0,2上的最大值和最小值.,【解】,f(x)(xa),2,1a,2,，对称轴为xa.,(1)当a0时，由图可知，f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(x),min,f(0),1，f(x),max,f(2)34a.,(2)当0a1时，由图可知，对称轴在区间0,2内，所以f(x),min,f(a),1a,2,，f(x),max,f(2)34a.,(3)当12时，由图可知，f(x)在0,2上为减函数，所以f(x),min,f(2)3,4a，f(x),max,f(0)1.,1函数f(x)2x1(x2，2)的最小、最大值分别为(),A,3,5B3,5,C1,5D5，3,【解析】,因为f(x)2x1(x2,2)是单调递减函数，所以当x2时，,函数的最小值为3.当x2时，函数的最大值为5.,【答案】,B,3若函数yax1在1,2上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(),A,2,B,2,C,2或2,D,0,【解析】,由题意，a0，当a0时，有(2a1)(a1)2，解得a2；,当a0时，有(a1)(2a1)2，解得a2.综上知a2.,【答案】,C,2,5已知函数f(x)x1(x2,6),(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；,(2)求函数的最大值和最小值,
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