26讲-非齐次边界条件的齐次化处理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,8.3,非齐次边界条件的齐次化处理,从之前的讨论中可知，除稳定场问题需部分非齐次边界来确定,叠加系数外，其它情况总是要求边界条件为齐次。这是分离变量,法的适用条件。这也是本征函数有解且解具有正交完备性的基本,要求。所以对于一些非齐次边界,我们总是想办法将其齐次化。,一、,类非齐次边界的齐次化处理,如果能将非齐次边界问题,u,转化为齐次边界问题,w,和一个较简单,函数,v,的叠加，即,u,=,w,+,v,，而函数,v,满足,u,的边界条件，这样,w,满,足的边界即为齐次边界。其中函数,v,的选取具有一定的随机性，,有时要作多次尝试，而且其形式不唯一。,1,、齐次方程的一般处理,例如，自由振动问题,对于第一类边界，不妨,把,v,选为,x,的线性函数,：,代入边界条件，可得待定系数,则定解问题变为：,这样问题转化为齐次边界条件的非齐次方程。,如果令,还可以将,w,方程齐次化。这里的,m,(t,),和,n,(t,),为不高于时间,t,二次方,的函数。这时，函数,v,(,x,t,),相当于方程的一个特解，而选取的机动,函数只要满足齐次边界,w,(0)=0=,w,(,l,),，便不会影响,v,(,x,t,),的齐次化。,例,1,：求定解问题,根据上面的分析，可令线性函数,并让,v,(,x,t,),满足非齐次边界：,又,v,(,x,t,),为方程的特解，代入方程得：,解得,：,由其边界条件得：,则定解问题变为：,从而问题转化为关于,w,(,x,t,),的齐次边界条件的齐次方程，解之得,其中系数由初条件确定为：,从而可得,u,(,x,t,)=,v,(,x,t)+,w,(,x,t,),。,2,、非齐次方程,若上面为非齐次方程，且,f,(,x,t,)=,f,(,x,),，称为,稳恒方程,，则在确,定机动函数,w,(,x,),时得到的方程为非齐次常微分方程，所以可用常,数变易法求解，这样仍然可以转化为含齐次边界的齐次方程。但,是，当,f,(,x,t,),含有时间项时（,非稳恒方程,），只能将非齐次边界齐,次化，而很难用求,w,(,x,),的办法使方程齐次化，这样只能转化为含,齐次边界的非齐次方程。如下例：,例,2,：其它条件不变，仅让例,1,的方程变为,解：令,则,v,(,x,t,),满足非齐次边界。,令,u,=,v,+,w,，得定解问题,用本征函数展开得：,其中,由初条件得：,作拉氏变换，解得：,从而可得通解,u,=,v,+,w,。,用,冲量法,再解上述非齐次方程，方程可分解为：,解满足,w,=,w,1,+,w,2,。,其中齐次方程,的通解为,非齐次方程,的解可用,冲量法求，先求解方程,解得：,将通解代入初条件得：,故,从而可得通解,u,=,v,+,w,。,3,、特殊处理,当非齐次边界为时间的周期函数时，还可以作特殊的齐次化处,理，即取,v,(,x,t,),也,为时间的周期函数。,例,3,：求定解方程,令,v,(,x,t,)=,X,(,x,)sin,w,t,是齐次方程的一个特解，并满足非齐次边界，,则分离变量得：,再令,u,=,v,+,w,，则上面的定解问题变为：,解之得：,其中系数：,最后可得通解,u,(,x,t,)=,v,(,x,t,)+,w,(,x,t,),。,当,(,x,)=0=,(,x,),时，即为课本例,2,，则此时系数：,为,0,所以，,当边界处的外加力频率,与某一本征振动频率,n,接近时，即,这便是共振。,方法二：该题也可以用一般处理法，令,u,=,v,+,w,，其中,所以定解方程变为：,由本征函数展开法或冲量法可解出：,同样产生共振。,因为有傅氏展开,所以，两种解法的结果是完全相同的。,n,为,1,二、,类非齐次边界的齐次化处理,如果上述的定解问题为,第二类非齐次边界，即,则,v,x,需作,x,变量的线性型变换,，即令,满足非齐次边界，从而可得,若给,v,(,x,t,),增加一个随机函数,w,(,x,),还可将方程齐次化。,总之，第二类非齐次边界的处理办法和第一类完全相同。,三、其它非齐次边界的齐次化处理,下面给出其它非齐次边界条件下的函数,v,(,x,t,),的形式：,v,的,x,线性型变换不可行？,显然函数,v,(,x,t,),满足各自的边界条件，且不超过,x,和,t,的二次方。,函数,v,(,x,t,),的形式不唯一，只要满足边界即可，因此上述,(1),和,(2),的形式也可以令为：,四、分离变量法说明,作业,P175,：,1,，,3,2,、二阶线性偏微分方程的解不一定是分离变量的乘积形式，,例如，和的形式,u,=,x,+,y,也是拉氏方程的解。,1,、常系数二阶偏微分方程可用分离变量法，但变系数二阶线,性偏微分不一定能用分离变量法；,