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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 数量函数的积分及应用,在一元函数积分学中已经介绍的定积分,是和式的极限形式，把这种和式的极限,的概念推广到定义在平面或空间区域,曲,线及曲面上多元函数的情形，便得到重积,分，曲线积分和曲面积分的概念.,第1节 数量函数积分的概念和性质,1.曲顶柱体的体积,曲顶柱体,：以 平面上的闭区域 为底，以 的边界曲线为准线，母线平行于 轴的柱面为侧面，,并以 为 顶的空间立体。,如何求此曲顶柱体的体积V？,按微元法的思想处理,.,一.两个实例：,分割,：把 D 任意分成 n 个小区域,(同时用 表示第 个小区域的面积），分别以,的边界为准线作母线平行于 轴的柱面，则原曲顶柱,y,x,z,D,o,体分成了 n 个小的曲顶柱体。,近似,：任取 ，则以,为底的小曲顶柱体体积,求和：,求极限,：区域中任意两点距离的最大值称为该区域,的直径，记,设有一物体对应于空间曲面 ，为密度函数，现要求该物体的质量 m。,2.质量：,分割,：把 任意分成 小块 ，表,示 第 i 小块曲面的面积。,近似,：任取 ，则第 i小块曲面的质量,求极限,：,求和,：,而且与定积分中的问题相比较，思想方法完全是一致的，只是闭区间换成了闭区域，闭曲面，一元函数换成了二元函数，三元函数。保存其数学结构的特征，抽象出其共性，可得数量函数积分的概念。,从上两例可见：虽然问题的背景不同，一个是几何问题，一个是物理问题，讨论的对象不一样，一个是空间立体，一个是曲面，但处理的方法是一样的，最终都归结为同一形式的和式的极限。,二.数量函数积分的概念,定义1,二重积分；,三重积分：,第一型曲线积分,对弧长的曲线积分：,第一型曲面积分,对面积的曲面积分：,数量函数积分的几何意义：,当 时，=,以D为底,以,为顶的曲顶柱体的体积,；,数量函数积分的物理应用之一：,3.若 则,三.数量函数积分的性质,1.线性性,2.可加性,特别地，有,若 则,4.估值定理,5.中值定理,
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