向量法证明平行与垂直课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1,第,7,节立体几何中的向量方法,(,一,),证明平行与垂直,第7节立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直,最新考纲,1.,理解直线的方向向量及平面的法向量；,2.,能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；,3.,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理,.,最新考纲1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量,1.,直线的方向向量和平面的法向量,(,1),直线的方向向量：如果表示非零向量,a,的有向线段所在直线与直线,l_,，,则称此向量,a,为直线,l,的方向向量,.,(,2),平面的法向量：直线,l,，取直线,l,的方向向量,a,，则向量,a,叫做平面,的法向量,.,知,识,梳,理,平行或重合,1.直线的方向向量和平面的法向量知 识 梳 理平行或重合,2.,空间位置关系的向量表示,位置关系,向量表示,直线,l,1,，,l,2,的方向向量分别为,n,1,，,n,2,l,1,l,2,n,1,n,2,n,1,n,2,l,1,l,2,n,1,n,2,_,直线,l,的方向向量为,n,，平面,的法向量为,m,l,n,m,_,l,n,m,n,m,平面,，,的法向量分别为,n,，,m,n,m,n,m,n,m,_,n,1,n,2,0,n,m,0,n,m,0,2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方,常用结论与微点提醒,1.,用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理,.,若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外,.,2.,用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标,.,常用结论与微点提醒,1.,思考辨析,(,在括号内打,“”,或,“”,),(,1),直线的方向向量是唯一确定的,.(,),(,2),若直线,a,的方向向量和平面,的法向量平行，则,a,.(,),(,3),若两平面的法向量平行，则两平面平行,.(,),(,4),若直线,a,的方向向量与平面,的法向量垂直，则,a,.(,),解析,(1),直线的方向向量不是唯一的,，,有无数多个；,(,2),a,；,(3),两平面平行或重合；,(4),a,或,a,.,答案,(1),(2),(3),(4),诊,断,自,测,1.思考辨析(在括号内打“”或“”)诊 断 自 测,2.,(,选修,2,1P104,练习,2,改编,),已知平面,，,的法向量分别为,n,1,(2,，,3,，,5),，,n,2,(,3,，,1,，,4),，则,(,),A.,B.,C.,，,相交但不垂直,D,.,以上均不对,解析,n,1,n,2,，,且,n,1,n,2,2,(,3),3,1,5,(,4),23,0,，,，,相交但不垂直,.,答案,C,2.(选修21P104练习2改编)已知平面，的法向量分,3.,若直线,l,的方向向量为,a,(1,，,0,，,2),，平面,的法向量为,n,(,2,，,0,，,4),，则,(,),A.,l,B.,l,C.,l,D.,l,与,斜交,解析,a,(1,，,0,，,2),，,n,(,2,，,0,，,4),，,n,2,a,，,即,a,n,.,l,.,答案,B,3.若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为,答案,C,答案C,5,.,如,图所示，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,O,是底面正方形,ABCD,的中心，,M,是,D,1,D,的中点，,N,是,A,1,B,1,的中点，则直线,ON,，,AM,的位置关系是,_.,答案,垂直,5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面,向量法证明平行与垂直课件,证明,法一,如图，取,BD,的中点,O,，以,O,为原点，,OD,，,OP,所在射线分别为,y,，,z,轴的正半轴，建立空间直角坐标系,O,xyz,.,证明法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在,向量法证明平行与垂直课件,法二,在线段,CD,上取点,F,，使得,DF,3,FC,，连接,OF,，同法一建立空间直角坐标系，写出点,A,，,B,，,C,的坐标，设点,C,坐标为,(,x,0,，,y,0,，,0).,法二在线段CD上取点F，使得DF3FC，连接OF，同法一,规律方法,1.,恰当建立坐标系,，,准确表示各点与相关向量的坐标,，,是运用向量法证明平行和垂直的关键,.,2,.,证明直线与平面平行,，,只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,，,或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面,，,或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,，,然后说明直线在平面外即可,.,这样就把几何的证明问题转化为向量运算,.,规律方法1.恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，,【训练,1,】,已知,正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,1,，,E,，,F,，,G,分别为,AB,，,AD,，,AA,1,的中点，求证：平面,EFG,平面,B,1,CD,1,.,【训练1】已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，,证明,建立如图所示的空间直角坐标系,D,xyz,，则,A,(1,，,0,，,0),，,B,(1,，,1,，,0),，,C,(0,，,1,，,0),，,D,(0,，,0,，,0),，,A,1,(1,，,0,，,1),，,B,1,(1,，,1,，,1),，,D,1,(0,，,0,，,1).,证明建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1，0，,设,n,1,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),为平面,EFG,的法向量，,n,2,(,x,2,，,y,2,，,z,2,),为平面,B,1,CD,1,的一个法向量,.,令,x,1,1,，可得,y,1,1,，,z,1,1,，,同理可得,x,2,1,，,y,2,1,，,z,2,1.,则,n,1,(1,，,1,，,1),，,n,2,(1,，,1,，,1).,由,n,1,n,2,，得平面,EFG,平面,B,1,CD,1,.,设n1(x1，y1，z1)为平面EFG的法向量，n2(x,考点二利用空间向量证明垂直问题,【例,2,】,如图所示,，已知,四棱锥,P,ABCD,的底面是直角梯形，,ABC,BCD,90,，,AB,BC,PB,PC,2,CD,，侧面,PBC,底面,ABCD,.,证明：,(,1),PA,BD,；,(,2),平面,PAD,平面,PAB,.,考点二利用空间向量证明垂直问题,证明,(1),取,BC,的中点,O,，连接,PO,，,平面,PBC,底面,ABCD,，,BC,为交线，,PO,平面,PBC,，,PBC,为等边三角形，即,PO,BC,，,PO,底面,ABCD,.,以,BC,的中点,O,为坐标原点，以,BC,所在直线为,x,轴，过点,O,与,AB,平行的直线为,y,轴，,OP,所在直线为,z,轴，建立空间直角坐标系，如图所示,.,证明(1)取BC的中点O，连接PO，,向量法证明平行与垂直课件,又,PA,PB,P,，,PA,，,PB,平面,PAB,，,DM,平面,PAB,.,DM,平面,PAD,，,平面,PAD,平面,PAB,.,又PAPBP，PA，PB平面PAB，,规律方法,1.,利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系,，,准确写出相关点的坐标,，,从而将几何证明转化为向量运算,.,其中灵活建系是解题的关键,.,2,.,用向量证明垂直的方法,(1),线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直,，,即证它们的数量积为零,.,(2),线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线,，,或将线面垂直的判定定理用向量表示,.,(3),面面垂直：证明两个平面的法向量垂直,，,或将面面垂直的判定定理用向量表示,.,规律方法1.利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确,向量法证明平行与垂直课件,证明,由题设易知,OA,，,OB,，,OA,1,两两垂直，以,O,为原点建立如图所示的空间直角坐标系,.,证明由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如,所以,A,1,C,BD,，,A,1,C,BB,1,.,又,BD,BB,1,B,，,BD,，,BB,1,平面,BB,1,D,1,D,，,所以,A,1,C,平面,BB,1,D,1,D,.,所以A1CBD，A1CBB1.,向量法证明平行与垂直课件,(1),证明,因为平面,PAD,平面,ABCD,，,AB,AD,，,所以,AB,平面,PAD,，所以,AB,PD,.,又因为,PA,PD,且,AB,PA,A,，,PA,，,AB,平面,PAB,，所以,PD,平面,PAB,.,(2),解,取,AD,的中点,O,，连接,PO,，,CO,.,因为,PA,PD,，所以,PO,AD,.,又因为,PO,平面,PAD,，平面,PAD,平面,ABCD,，,所以,PO,平面,ABCD,.,因为,CO,平面,ABCD,，所以,PO,CO,.,因为,AC,CD,，所以,CO,AD,.,(1)证明因为平面PAD平面ABCD，ABAD，,如图，建立空间直角坐标系,O,xyz,.,由题意得，,A,(0,，,1,，,0),，,B,(1,，,1,，,0),，,C,(2,，,0,，,0),，,D,(0,，,1,，,0),，,P,(0,，,0,，,1).,如图，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得，A(0，1，0,向量法证明平行与垂直课件,命题角度,2,与垂直有关的探索性问题,【例,3,2,】,如图,，正方形,ADEF,所在平面和等腰梯形,ABCD,所在的平面互相垂直，已知,BC,4,，,AB,AD,2.,(,1),求证：,AC,BF,；,命题角度2与垂直有关的探索性问题,(1),证明,平面,ADEF,平面,ABCD,，平面,ADEF,平面,ABCD,AD,，,AF,AD,，,AF,平面,ADEF,，,AF,平面,ABCD,.,又,AC,平面,ABCD,，,AF,AC,.,AB,AF,A,，,AB,，,AF,平面,FAB,，,AC,平面,FAB,，,BF,平面,FAB,，,AC,BF,.,(1)证明平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面,向量法证明平行与垂直课件,假设在线段,BE,上存在一点,P,满足题意，则易知点,P,不与点,B,，,E,重合，,假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重,向量法证明平行与垂直课件,向量法证明平行与垂直课件,【训练,3,】,如图,，在,三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,AA,1,C,1,C,是边长为,4,的正方形,.,平面,ABC,平面,AA,1,C,1,C,，,AB,3,，,BC,5.,(,1),求证：,AA,1,平面,ABC,；,【训练3】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1,证明,(1),因为,AA,1,C,1,C,为正方形，所以,AA,1,AC,.,因为平面,ABC,平面,AA,1,C,1,C,，,AA,1,平面,AA,1,C,1,C,，且,AA,1,垂直于这两个平面的交线,AC,，,所以,AA,1,平面,ABC,.,(2),由,(1),知,AA,1,AB,，,AA,1,AC,.,证明(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC.,由题知,AB,3,，,BC,5,，,AC,4,，所以,AB,AC,.,如图，以,A,为原点建立空间直角坐标系,A,xyz,.,则,B,(0,，,3,，,0),，,A,1,(0,，,0,，,4),，,B,1,(0,，,3,，,4),，,C,1,(4,，,0,，,4).,由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.,向量法证明平行与垂直课件,