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,空白演示,在此输入您的封面副标题,空白演示在此输入您的封面副标题,1,第二十二章,二次函数,22,.,1,.,4,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象和性质,(,二,),九年级数学,上 新课标,人,第二十二章二次函数22.1.4二次函数y=ax2+bx+,2,待定系数法求二次函数解析式,(2015,齐齐哈尔一模,),已知一个二次函数的图象经过,A,B,和,C,(1,-,2),三点,.,(1),求出这个二次函数的解析式,;,解,:,(1),设二次函数的解析式为,y=ax,2,+bx+c,考查角度,1,设一般式求二次函数解析式,例,1,解析,题目给出抛物线上的三个点的坐标,可设一般式求抛物线解析式,;,根据题意得,所以二次函数解析式为,y=x,2,-x-.,解得,待定系数法求二次函数解析式(2015齐齐哈尔一模)已知一个,3,(2),若函数的图象与,x,轴相交于点,E,F,(,E,在,F,的左边,),求,EFB,的面积,.,解析,先求出,E,F,两点的坐标,然后根据三角形面积公,式求解,.,解：,(2),当,y=,0,时,x,2,-x-=,0,解得,x,1,=-,1,x,2,=,3,所以,E,点坐标为,(,-,1,0),F,点坐标为,(3,0),所以,EFB,的面积,=,(3,+,1),=,3,.,(2)若函数的图象与x轴相交于点E,F(E在F的左边),求,4,(3),填空,:,把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移,个单位,使得该图象的顶点在原点,.,1,.,(2015,巴中模拟,),二次函数的图象经过点,A,(0,-,3),B,(2,-,3),C,(,-,1,0),.,(1),求此二次函数的关系式,;,解,:,(1),由题意设二次函数解析式为,y=ax,2,+bx-,3,把,(2,-,3),(,-,1,0),代入得,解得 ,y=x,2,-,2,x-,3,.,(2),求此二次函数图象的顶点坐标,;,(2),y=x,2,-,2,x-,3,=,(,x-,1),2,-,4,函数图象的顶点坐标为,(1,-,4),.,5,(3)填空:把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移个单位,5,考查角度,2,设顶点式求二次函数解析式,已知关于,x,的二次函数的图象的顶点坐标为,(,-,1,2),且图象过点,(1,-,3),.,(1),求这个二次函数的关系式,;,(2),写出它的开口方向、对称轴,.,例,2,解析,已知抛物线的顶点,可设顶点式,再用待定系数法求二次函数的解析式,.,进而可根据函数的解析式求得抛物线的开口方向和对称轴,.,解,:,(1),抛物线的顶点坐标为,(,-,1,2),设函数解析式为,y=a,(,x+,1),2,+,2,把,(1,-,3),代入解析式,得,-,3,=a,(1,+,1),2,+,2,解得,a=-,抛物线的解析式为,y=-,(,x+,1),2,+,2,.,(2),由,(1),可得抛物线的开口向下,对称轴为直线,x=-,1,.,考查角度2 设顶点式求二次函数解析式已知关于x的二次函数,6,2.,(2015,吴兴区一模,),已知二次函数的图象经过,(0,0),且它的顶点坐标是,(1,-,2),.,(1),求这个二次函数的关系式,;,(2),判断点,P,(3,5),是否在这条抛物线上,.,解,:,(1),设抛物线的顶点式为,y=a,(,x-,1),2,-,2,，,将点,(0,0),代入得,a-,2,=,0,解得,a=,2,，,所以抛物线的解析式为,y=,2(,x-,1),2,-,2,。,(2),当,x=,3,时,y=,2(3,-,1),2,-,2,=,6,，,所以点,P,(3,5),不在这条抛物线上,.,2.(2015吴兴区一模)已知二次函数的图象经过(0,0),7,考查角度,3,设交点式求二次函数解析式,如图所示,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象经过,A,(,-,1,0),B,(3,0),C,(0,3),三点,.,(1),求这个二次函数的解析式,;,(2),设该二次函数的图象与,y,轴交于点,C,连接,AC,BC,求,ABC,的面积,.,例,3,解析,(1),A,B,两点是抛物线与,x,轴的交点,故可设交点,式,再用待定系数法求二次函数的解析式,.,(2),根据三角形,的面积公式即可求解,.,解,:,(1),二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象经过,A,(,-,1,0),B,(3,0),设二次函数的解析式为,y=a,(,x+,1)(,x-,3),把,C,(0,3),代入,得,3,=a,(0,+,1)(0,-,3),解得,a=-,1.,这个二次函数的解析式为,y=-,(,x+,1)(,x-,3),=-x,2,+,2,x+,3,.,(2),A,(,-,1,0),B,(3,0),AB=,4,.,C,(0,3),ABC,的面积,=,4,3,=,6,.,【解题归纳】,已知抛物线与,x,轴的两个交点的坐标,用待定系数法求二次函数解析式时,可设交点式,代入条件后得到一元一次方程,求解即可,.,考查角度3 设交点式求二次函数解析式如图所示,二次,8,3,.,已知抛物线,y=ax,2,+bx+c,与,x,轴交于点,A,(1,0),B,(3,0),且过点,C,(0,-,3),.,(1),求抛物线的解析式和顶点坐标,;,(2),请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线,y=-x,上,并写出平,移后抛物线的解析式,.,解,:,(1),抛物线与,x,轴交于点,A,(1,0),B,(3,0),可设抛物线解析式为,y=a,(,x-,1)(,x-,3),把,C,(0,-,3),代入得,3,a=-,3,解得,a=-,1,故抛物线解析式为,y=-,(,x-,1)(,x-,3),即,y=-x,2,+,4,x-,3,y=-x,2,+,4,x-,3,=-,(,x-,2),2,+,1,，,抛物线的顶点坐标为,(2,1),.,(2),先向左平移,2,个单位,再向下平移,1,个单位,得到的抛物线的解析式为,y=-x,2,平移后抛物线的顶点为,(0,0),在直线,y=-x,上,.,（答案不唯一）,3.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),9,求抛物线解析式与几何问题的综合应用,(2015,徐汇区一模,),已知二次函数,y=ax,2,+bx+c,(,a,b,c,为常数,且,a,0),的图象经过,A,B,C,D,四个点,其中横坐标,x,与纵坐标,y,的对应值如下表,:(1),求二次函数解析式,;(2),求,ABD,的面积,.,例,4,解析,(1),把点,A,B,C,的坐标代入,y=ax,2,+bx+c,即可求出二次函数解析式,.,(2),利用三角形的面积公式求解即可,.,考查角度,1,求抛物线解析式与求几何图形面积,A,B,C,D,x,-,1,0,1,3,y,-,1,3,5,3,解,:,(1),把点,A,B,C,的坐标代入,y=ax,2,+bx+c,得解得,所以二次函数解析式为,y=-x,2,+,3,x+,3,.,(2),S,ABD,=,3,4,=,6,.,求抛物线解析式与几何问题的综合应用(2015徐汇区一模),10,4,.,(2015,静安区一模,),已知在直角坐标平面内,抛物线,y=x,2,+bx+,6,经,过,x,轴上两点,A,B,点,B,的坐标为,(3,0),与,y,轴相交于点,C.,(1),求抛物线的解析式,;,(2),求,ABC,的面积,.,解,:,(1),把点,B,的坐标,(3,0),代入,y=x,2,+bx+,6,，,得,0,=,9,+,3,b+,6,解得,b=-,5,抛物线的解析式为,y=x,2,-,5,x+,6,.,(2),由抛物线的解析式为,y=x,2,-,5,x+,6,，,易知,A,(2,0),B,(3,0),C,(0,6),S,ABC,=,16,=,3,.,4.(2015静安区一模)已知在直角坐标平面内,抛物线y=,11,考查角度,2,求抛物线解析式与求线段和的最小值,如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线,y=ax,2,+bx+c,经过,A,(,-,2,-,4),O,(0,0),B,(2,0),三点,.,(1),求抛物线,y=ax,2,+bx+c,的解析式,;,(2),若点,M,是该抛物线对称轴上的一点,求,AM+OM,的最小值,.,例,5,解析,(1),已知抛物线上不同的三点坐标,利用待定系数法可求,出该抛物线的解析式,.,(2),根据,O,B,点的坐标发现,:,抛物线上,O,B,两,点正好关于抛物线的对称轴对称,那么只需连接,AB,直线,AB,和抛,物线对称轴的交点即为符合要求的,M,点,而,AM+OM,的最小值正,好是,AB,的长,.,解,:,(1),把,A,(,-,2,-,4),O,(0,0),B,(2,0),三点的坐标代入,y=ax,2,+bx+c,中,得,所以,解析式为,y=-x,2,+x.,解这个方程组,得,考查角度2 求抛物线解析式与求线段和的最小值如图所示,12,(2),由,y=-x,2,+x=-,(,x-,1),2,+,，,可得抛物线的对称轴为直线,x=,1,并且对称轴垂直平分线段,OB,如图所示,连接,OM,BM,则,OM=BM,OM+AM=BM+AM,连接,AB,交直线,x=,1,于,M,点,则此时,OM+AM,最小,过点,A,作,AN,x,轴于点,N,在,Rt,ABN,中,AB=,因此,OM+AM,的最小值为,(2)由y=-x2+x=-(x-1)2+,13,5,.,(,鸡西中考,),如图,6,所示,抛物线,y=-x,2,+bx+c,与,x,轴交于,A,B,两点,与,y,轴交于点,C,且,OA=,2,OC=,3,.,(1),求抛物线的解析式,;(2),若点,D,(2,2),是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上是否存在一点,P,使得,BDP,的周长最小,?,若存在,请求出点,P,的坐标,若不存在,请说明理由,.,解,:,(1),OA=,2,OC=,3,，,A,(,-,2,0),C,(0,3),，,c=,3,将,A,(,-,2,0),代入,y=-x,2,+bx+,3,，,得,-,(,-,2),2,-,2,b+,3,=,0,解得,b=,可得函数解析式为,y=-x,2,+x+,3,.,(2),如图,6,所示,连接,AD,与对称轴相交于点,P,由于点,A,和点,B,关于对称轴对称,所以,BP+DP=AP+DP,当,A,P,D,共线时,BP+DP=AP+DP,最小,.,设直线,AD,的解析式为,y=kx+m,将,A,(,-,2,0),D,(2,2),分别代入,得,解得,故直线,AD,的解析式为,y=x+,1(,-,2,x,2),.,由于二次函数图象的对称轴为直线,x =,，,则当,x=,时,y=,+1=,，,故,P,5.(鸡西中考)如图6所示,抛物线y=,14,考查角度,3,二次函数的探究问题,如图所示,直线,y=,3,x+,3,交,x,轴于,A,点,交,y,轴于,B,点,过,A,B,两点的抛物线交,x,轴于另一点,C,(3,0),.,(1),求抛物线的解析式,;,(2),在抛物线的对称轴上是否存在点,Q,使,ABQ,是等腰三角形,?,若存在,求出符合条件的,Q,点坐标,若不存在,请说明理由,.,例,6,解析,(1),由直线的解析式确定,A,B,两点的坐标,然后用两根,式求抛物线解析式,.,(2),分,AB=AQ,BA=BQ,QA=QB,三种情况讨论,.,解,:,(1),直线,y=,3,x+,3,交,x,轴于,A,点,交,y,轴于,B,点,A,点坐标为,(,-,1,0),B,点坐标为,(0,3),又,C,(3,0),即,A,B,C,三点中有两点在,x,轴上,设抛物线的解析式为,y=a,(,x+,1)(,x-,3),.,把,B,(0,3),代入,得,a,(0,+,1)(0,-,3),=,3,解得,a=-,1,y=-,(,x+,1)(,x-,3),=-x,2,+,2,x+,3,.,考查角度3 二次函数的探究问题如图所示,直线,15,(2),存在,y=-x,2,+,2,x+,
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