《薛定谔方程》课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,/10/29,.,*,第 2 章,薛定谔方程,第 2 章,2.1 薛定谔方程,2.1 薛定谔方程,2.1 薛定谔方程2.1 薛定谔方程,一.,薛定谔方程,式中,m,粒子的质量,U,粒子在外力场中,的势能函数（所处条件）,2,拉普拉斯算符,奥地利物理学家 薛定谔,（,Schrodinger 1887-1961）,1933年薛定谔获,诺贝尔物理奖。,一.薛定谔方程 式中 m粒子的质量 奥地利物理学家,（3）它并非推导所得，最初是假设，后来通过实验,检验了它的正确性，地位相当“牛顿定律”。,（1）它是一个,复数偏微分,方程；,其解波函数,是一个,复函数,。,说明：,（2）它的解满足态的叠加原理,若 和 是薛定谔方程的解，,则 也是薛定谔方程的解。,因为薛定谔方程是,线性,偏微分方程。,（4）它是非相对论形式的方程。,（3）它并非推导所得，最初是假设，后来通过实验 （1）它,二.定态薛定谔方程,常常遇到微观粒子的势能函数,U,与时间,t,无关的稳定的势场问题，这称为定态问题。,自由运动粒子,U,=0,氢原子中的电子,这时波函数,可以用,分离变量法,分离为,一个空间坐标的函数和一个时间函数的,乘积。,例如：,二.定态薛定谔方程常常遇到微观粒子的势能函数 U 与时间,以一维运动的情况为例，波函数可写成,将其代入薛定谔方程,得,两边除以,，得,=,E,(,常数),可得只含变量,t,和,只含,变量,x,的,两个方程：,以一维运动的情况为例，波函数可写成 将其代入薛定,一个是变量为,t,的方程,其解为,（,A,是待定复常数；,E,有能量量纲,以后可知是,粒子的能量：动能+势能，不包括静能）,（）,（）,一个是变量为,x,的方程,可以把它先解出来：,其解,(,x,),与粒子所处的条件（外力场,U,）,有关。,一个是变量为t 的方程 其解为 （A 是待定复常数；,即定态时，概率密度可以用,(,x,),2,来表示，,(,x,),称为,定态波函数,，,小结：对势能函数,U,与时间,t,无关的定态问题，,只须解定态薛定谔方程（）式，再乘上（）式,即可得总波函数,(,x,t,)。,由上面可以看出:,上面,（）,式是 (,x,),满足的方程，,称为,定态薛定谔方程,。,即定态时，概率密度可以用 (x)2来表示，小结：对,例.一维自由运动微观粒子的波函数。,其定态薛定谔方程为,二阶常系数,常微分方程,E,是能量（动能）,令 ，,P,是动量。,自由运动区,U,=0,电子枪,K,A,例.一维自由运动微观粒子的波函数。其定态薛定谔方程为二,它有两个特解:,所以，有一定能量和一定动量的,一维自由运动,微观粒子的波函数有如下两个解:,得,它有两个特解:所以，有一定能量和一定动量的一维自由运动得,沿+,x,方向的,单色,平面波,沿-,x,方向的,单色,平面波,动量有最小的不确定度，坐标就有最大的不确定度。,在自由运动区域，各点粒子出现的概率都相等。,沿+x 方向的单色平面波沿-x 方向的单色平,2.2 无限深方势阱中的粒子,2.2 无限深方势阱中粒子,2.2 无限深方势阱中的粒子2.2 无限深方势阱中粒子,一.一维无限深方势阱中粒子的,波函数与能量,金属中自由电子的运动,是被限制在一个有限的范围 称为束缚态。,作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维,无限深方势阱中运动：,简,化,U,=0,U,U,U,(,x,),x,无限深方势阱,a,金属,U,=,U,0,U,=,U,0,U,=0,x,一.一维无限深方势阱中粒子的金属中自由电子的运动,是被限制在,我们来具体求出微观粒子在此势阱中的波函数解。,按照一维定态薛定谔方程,（）,这种势场表示粒子可以在,势阱中运动，但不能越出势阱，,（因为 ,区域的势能为无穷大）。,它的势能函数为,U,=0,U,U,U,(,x,),x,无限深方势阱,我们来具体求出微观粒子在此势阱中的波函数解。按照一维定态薛定,由于在,I、III,两区的,U,(,x,),，,显然应,=,0;,=,0，否则方程就无意义了。,由于,区的,U,(,x,)=0，,因此该区薛定谔方程为,令,则有,这也说明粒子不可能在这两个区域出现，,和经典概念相符。,（）,由于在 I、III 两区的 U(x)，由于 区,A、,、k,可由波函数应满足的条件来决定：,有限、单值自然满足。,连续？,这一方程的通解为波动解,(可将此通解代入上面方程证明之),A、k 可由波函数应满足的条件来决定：有限、单值,由于,而在,I、III,两区，所以有,可得,由于而在I、III 两区，所以有,式中 是整数。,上两式相加得,记作,式中 也是整数。,-偶函数,-奇函数,的其他数值所对应的解都不是独立的，,因为它们和 、的形式一样，只可能有正负,的区别，这并不影响 ,即概率密度的分布不变。,所以有,式中 是整数。上两式相加得记作式中 也是整数。,仍利用,即,ka,=(2,n,+1),，,n,=0,1,2,3,（2）,即,ka,=,n,，,n,=0,2,4,6,（1）,将（1）（2）写成一个式子，为,ka,=,n,，,n,=1,2,3,4,5,6,仍利用即 ka=(2n+1)，n=0,1,所以有,为了求出,A,，,我们用波函数的归一化条件，例如,可得,因为,n,称为,量子数,),(,E,称为,能量本征值,ka,=,n,，,n,=1,2,3,4,5,6,所以有为了求出 A，我们用波函数的归一化条件，例如可得因为,于是对每一个,n,值，波函数的空间部分为,这些波函数也称为能量本征函数。,每个能量有确定值的状态称为粒子的能量本征态。,与,n,=1,2,3.4,相应的波函数,n,及概率密度 图,形如下，除两个端点外，驻波的节点数=,n,-1.,于是对每一个 n 值，波函数的空间部分为这些波函数也称为能,E,n,x,E,1,E,2,E,3,E,4,束缚态,0,呈驻波状,EnxE1E2E3E4 束缚态0呈驻波状,1.,能量只能取分立值,是解薛定谔方程自然而然得到的结论。,2.当,m,很大（宏观粒子）时，,讨论:,按经典理论粒子的“能量连续”；,但量子力学束缚态能量只能取分立值（能级）,能量连续，,量子,经典。,3.最低能量不为零（称零点能）,符合不确定关系。,1.能量只能取分立值2.当 m 很大（宏观粒子）时，,4.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布,与经典粒子不同。,E,n,但是，当,n,很大时，势阱内各处粒子出现的,概率可以说是几乎相同的（忽略有限个节 点）。,在大量子数的极限情况下，量子体系行为将,趋于与经典行为一致，这称为“对应原理”。,4.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布En但是，当 n,5,.由,还可以得到势阱中粒子的动量和波长。,正说明势阱中粒子的每一个能量本征态正好对应于,德布罗意波的一个特定波长的驻波。,n,=1,2,3,4,5,6,5.由还可以得到势阱中粒子的动量和波长。正说明势阱中粒子的每,宇称的概念:,-奇函数,有,-偶函数,有,即波函数“反演变换”变号，称为具有奇宇称，,并以宇称量子数为-1作为标记。,即波函数“反演变换”不变号，称为具有偶宇称，,并以宇称量子数为+1作为标记。,宇称的概念:-奇函数有-偶函数有即波函数“反演变换”变号,2.3 势垒穿透,2.3 势垒穿透,2.3 势垒穿透2.3 势垒穿透,设微观粒子有一定,能量,E,(,设0,E,U,0,)，,我们也应分区求解其波函数：,金属中自由电子逸出金属表面时，实际上遇到的,是一个高度有限的势垒。,下面考虑这样的势场：,U,U=U,0,0,x,E,U=,0,区,区,设微观粒子有一定我们也应分区求解其波函数：金属中自由电子逸出,区：,（,E,U,是波动解）,令,入射波 反射波,+,x,方向,-,x,方向,第二项是,x,=0,势垒处反射的波。,区：,令,区：（E U,是波动解）令入射波 反射波+x,“有限”要求,D,=0，,（,E,U,是衰减解）,按经典力学粒子不可能在 区出现！,按量子力学粒子仍有可能在 区出现！,区,区,U,x,U=U,0,0,U=,0,“有限”要求 D=0，（E U,是衰减解）按经典力,可以想见，原来在区的粒子也可以在势垒,的另一边 区出现！这在经典物理是不可想象的！,若势能曲线,如图所示：,有一个有限,宽度的“势垒”。,这称为“量子隧道效应”。,区是波动解，,区是指数解，,区也是波动解，但是只有向+,x,方向的波；,没有向-,x,方向的反射波了。,区,区,区,U=U,0,0,U,U=,0,a,U=,0,x,可以想见，原来在区的粒子也可以在势垒若势能曲线有一个有限这,例如，放射性核的,粒子衰变,隧道二极管,扫描隧穿显微镜,若,m、a、(U,0,E),越小，则穿透率,T,越大。,实验完全证实了“量子隧道效应”现象的存在。,计算结果表明（不证），,粒子的穿透率为,例如，放射性核的 粒子衰变 隧道二极管 扫描隧穿,扫描隧道显微镜,只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠。,若在样品与针尖之间加一微小电压,U,b,，,电子就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。,隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏；若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布。,由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于,表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，,而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1,nm。,扫描隧道显微镜只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作,0,50,90,30,70,10,(,nm),硅晶体表面的,STM,扫描图象,05090307010(nm)硅晶体表面的STM扫描图象,神经细胞的,STM,扫描图像,神经细胞的STM扫描图像,搬运单个原子,用原子操纵写出,“,100,”,、,“,中国,”,搬运单个原子用原子操纵写出“100”、“中国”,1993年 用,STM,技术镶嵌了48个,Fe,原子的,Cu,表,面的扫描隧道显微镜照片。,Fe,原子形成“电子围栏”,（半径7.13,nm），,可看到围栏中的同心圆状驻波，,直观地证实了电子的波动性。,1993年 用STM 技术镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu,由于这一贡献，宾尼、罗赫尔和鲁斯卡,三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。,前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者，,第三人是 1932年电子显微镜的发明者，,这里是为了追朔他的功劳。,罗赫尔,宾尼,鲁斯卡,由于这一贡献，宾尼、罗赫尔和鲁斯卡前两人是扫描隧穿显微镜的直,2.4 谐振子,2.4 谐振子,2.4 谐振子2.4 谐振子,如果微观粒子的势能函数是,就应该解一维定态薛定谔方程,求解超出本课程的范围。结论：,x,0,U,(x),E,二阶变系数,常微分方程,可用级数展开法解上述方程。,波函数应满足标准条件,（连续、有限、单值、归一）,如果微观粒子的势能函数是就应该解一维定态薛定谔方程求解超出,一.能量,能量量子化、,能级等间距。,能量间隔,h,（,与黑体辐射理论同）,但有零点能。,E,0,E,4,E,3,E,1,E,2,E,0,二.波函数,一.能量 能量量子化、能量间隔 h 但有零点能。E,H,n,是厄密（,Hermite）,多项式，,最高阶是,Hn是厄密（Hermite）多项式，最高阶是,谐振子的波函数,谐振子的概率密度分布,谐振子的波函数 谐振子的概率密度分布,量子:,概率密度呈波动状,在,E,U,的区域也有,出现概率，从上图看到在基态,n,=0,时，,x,=0,处,粒子出现概率最大。（