概率1-5 (续)

概率论,第五节 条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,小结 布置作业,有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3 红球.某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.,解 记,A,i,=球取自i号箱,i,=1,2,3;,B,=取得红球,B,发生总是伴随着,A,1,，A,2,，A,3,之一同时发生，,1,2,3,其中,A,1,、A,2,、A,3,两两互斥,看一个例子:,三、全概率公式,将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的,全概率公式,.,对求和中的每,一项运用乘法,公式得,P,(,B,)=,P,(,A,1,B,)+,P,(,A,2,B,)+,P,(,A,3,B,),代入数据计算得：,P,(,B,)=8/15,运用加法公式得到,即,B=A,1,B+A,2,B+A,3,B,，,且,A,1,B、A,2,B、A,3,B,两两互斥,一个事件发生.,某一事件A的发生有各种可能的原因，如果A是由原因Bi(i=1,2,n)所引起，那么A发生的概率是,每一原因都可能导致,A,发生，故,A,发生的概率是各原因引起,A,发生概率的总和，即全概率公式.,P,(,AB,i,)=,P,(,B,i,),P,(,A,|,B,i,),全概率公式.,我们还可以从另一个角度去理解,由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果，每个原因对结果的发生有一定的“作用，即结果发生的可能性与各种原因的“作用大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.,B,1,B,2,B,3,B,4,B,5,B,6,B,7,B,8,A,诸,B,i,是原因,B,是结果,例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,假设三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.,设,A,=飞机被击落,B,i,=飞机被,i,人击中,i,=1,2,3,由全概率公式,那么 A=B1A+B2A+B3A,解,依题意，,P,(,A,|,B,1,)=0.2,P,(,A,|,B,2,)=0.6,P,(,A|B,3,)=1,P,(,A,)=,P,(,B,1,),P,(,A,|,B,1,)+,P,(,B,2,),P,(,A,|,B,2,),+,P,(,B,3,),P,(,A,|,B,3,),可求得,为求,P,(,B,i,),设,H,i,=飞机被第,i,人击中,i,=1,2,3,将数据代入计算得,P,(,B,1,)=0.36;,P,(,B,2,)=0.41;,P,(,B,3,)=0.14.,P,(,A,)=,P,(,B,1,),P,(,A,|,B,1,)+,P,(,B,2,),P,(,A,|,B,2,)+,P,(,B,3,),P,(,A,|,B,3,),=0.458,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飞机被击落的概率为0.458.,于是,该球取自哪号箱的可能性最大?,这一类问题是“结果求原因.在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.,某人从任一箱中任意摸出一球，,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率,.,1,2,3,1红4白,或者问:,四、贝叶斯公式,看一个例子:,接下来我们介绍为解决这类问题而引出的,贝叶斯公式,有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率,.,1,2,3,1红4白,?,某人从任一箱中任意摸出一球，,发现是红球，求该球是取自1号箱的概率,.,记,A,i,=球取自,i,号箱,i,=1,2,3;,B,=取得红球,求,P,(,A,1,|,B,),运用全概率公式,计算,P,(,B,),将这里得到的公式一般化，就得到,贝叶斯公式,1,2,3,1红4白,?,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件,B,已发生的条件下，寻找导致,B,发生的每个原因的概率.,贝叶斯公式在实际中有很多应用.,它可以帮助人们确定某结果事件 B发生的最可能原因.,例 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反响是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反响是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反响是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,则 表示“抽查的人不患癌症”.,已知,P,(,C,)=0.005,P,()=0.995,P,(,A,|,C,)=0.95,P,(,A,|)=0.04,求解如下:,设,C,=抽查的人患有癌症，,A,=试验结果是阳性，,求,P,(,C,|,A,).,现在来分析一下结果的意义.,由,贝叶斯公式,，可得,代入数据计算得,P,(,C,A,)=0.1066,2.检出阳性是否一定患有癌症?,1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？,如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率,患者阳性反响的概率是0.95，假设试验后得阳性反响,那么根据试验得来的信息，此人是患者的概率为,从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.,1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.,P,(,C,A,)=0.1066,P,(,C,)=0.005,试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为,P,(,C,A,)=0.1066,2.即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.,P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息不知道事件B是否发生的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.,当有了新的信息知道B发生，人们对诸事件发,生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计.,贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化,在贝叶斯公式中，,P,(,Ai,),和,P,(,Ai,|,B,),分别称为原因的,验前概率,和,验后概率,.,这一讲我们介绍了,全概率公式,贝叶斯公式,它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学们可通过进一步的练习去掌握它们.,五、小结,六、布置作业,?概率统计?标准化作业(一),