集合学时实用全套PPT

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,集合(jh)学时,第一页，共44页。,集合是一般数学(shxu)及离散数学(shxu)中的基本概念，几乎与现代数学(shxu)的各个分支都有密切联系，并且渗透到很多科技领域。本章主要介绍集合的基本知识，,通过本章学习，读者应该掌握以下内容：,（1）集合的概念及表示方法,（2）子集、空集、全集、补集、幂集等概念,（3）集合的基本运算：交、并、补和对称差,（4）集合的包含排斥原理,本章(bn zhn)学习目标,第二页，共44页。,3.1集合(jh)的概念与表示,3.2集合(jh)的运算,3.3包含排斥原理,主要(zhyo)内容,第三页，共44页。,1列举法,2描述法,3文氏图法,集合(jh)之间的关系,3.1集合的概念(ginin)与表示,第四页，共44页。,将一些对象汇集起来作为整体考虑，这个整体就叫做集合,如果x是集合A中的一个元素，记为xA,如果x不是集合A中的一个元素，记为x A,两个特殊的集合，全集：所论客体的全部，用E 表示(biosh);空集：不包含任何客体，用 表示(biosh),集合A中元素的个数用|A|表示(biosh),第五页，共44页。,集合(jh)的表示法,1.枚举法,列举出集合(jh)中的所有元素，用花括号括起来。,例如：,Aa,b,c,d,B3，1，4，2,C a，e，i，o，u,第六页，共44页。,2.抽象法,设P(x)表示客体x的某种性质,用,A=x|P(x)表示集合,例如:S1=x|x是计算机系学生(xu sheng),D=x|x是英文字母且x是元音,第七页，共44页。,集合之间的关系,定义如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，,则称A是B的子集，也可以说A包含于B，或者B包含A，这种,关系写作,AB 或 BA,如果A不是(b shi)B的子集，即在A中至少有一个元素不属于B时，,称B不包含A，记作,BA 或 AB,3.1 集合的概念(ginin)与表示,第八页，共44页。,集合之间的关系,如果两个集合A和B的元素(yun s)完全相同，则称这两个,集合相等，记作AB。,例如：,A1，2，3，4,B3，1，4，2,Cx|x是英文字母且x是元音,Da，e，i，o，u,显然有,AB，CD,3.1 集合的概念(ginin)与表示,第九页，共44页。,集合(jh)之间的关系,若集合U包含我们所讨论的每一个集合，则称U是所讨论问题的完全集，简称(jinchng)全集。,定义(dngy)如果集合A是集合B的子集，但A和B不相等，也就,是说在B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作,AB 或 BA,例如：集合A1，2，B1，2，3，那么A是B的真子集,集合,A,和集合,B,相等的充分必要条件是,A,B,且,B,A。,3.1 集合的概念与表示,第十页，共44页。,定义设A是有限集，由A的所有子集作为元素而构成的集,合称为A的幂集，记作(A)，即(A)X|XA。,在A的所有子集中(jzhng)，A和这两个子集又叫平凡子集。,例如：A1，2，3，则,(A)，1，2，3，1，2，1，3，,2，3，1，2，3,3.1 集合的概念(ginin)与表示,第十一页，共44页。,定理 设A是有限集，|A|=n，则A的幂集(A)的基为2 n。,证明(zhngmng)：由排列组合知：,又由二项式定理知：,所以可得：,|(A)|=2 n,3.1 集合(jh)的概念与表示,第十二页，共44页。,3.2 集合(jh)的运算,第十三页，共44页。,定义对于任意(rny)两个集合A、B，由所有既属于A又属于B的元,素构成的集合，称作A与B的交集，记作AB。即,AB x|xA且xB,例如，Aa，b，c，Bb，c，d，e，则,ABb，c,又如，A1，2，3，4，5，B1，3，5，7，9，则,AB1，3，5,3.2 集合(jh)的运算,第十四页，共44页。,集合的交运算的文氏图表示，见图3.2，其中阴影部分(b fen)就是AB。,3.2 集合(jh)的运算,第十五页，共44页。,由集合交运算(yn sun)的定义可知，交运算(yn sun)有以下性质：,（1）幂等律：AAA,（2）同一律：AUA,（3）零律：A,（4）结合律：(AB)CA(BC),（5）交换律：ABBA,3.2 集合(jh)的运算,第十六页，共44页。,定义任意两个(lin)集合A、B的并，记作AB，它也是一个集,合，由所有属于A或者属于B的元素合并在一起而构成的，即,ABx|xA或xB,例如，Aa，b，c，Ba，b，c，d，e，则,ABa，b，c，d，e,又如，A1，2，3，4，5，B1，3，5，7，9，则,AB1，2，3，4，5，7，9,3.2 集合(jh)的运算,第十七页，共44页。,用文氏图表示(biosh)集合之间的并运算：,用平面上的矩形表示(biosh)全集U。用矩形内的圆表示(biosh)U中的任一集合。图中表示(biosh)了集合A和集合B的并集。阴影部分就是AB。,3.2 集合(jh)的运算,第十八页，共44页。,由集合并运算的定义可知(k zh)，并运算具有以下性质：,（1）幂等律：AAA,（2）同一律：AA,（3）零律：AUU,（4）结合律：(AB)CA(BC),（5）交换律：ABBA,3.2 集合(jh)的运算,第十九页，共44页。,定理设A，B，C是三个集合，则下列(xili)分配律成立：,A（BC）（AB）（AC）,A（BC）（AB）（AC）,设A，B为两个集合，则下列关系式成立：,A（AB）A,A（AB）A,这个定理称为吸收律，读者(dzh)可以用文氏图验证。,3.2 集合(jh)的运算,第二十页，共44页。,设A、B是两个(lin)集合，由属于集合A但不属于集合B的所有元素组成的集合，称作集合B关于A的补集(或相对补)，记作,A-B。即,-Bx|x且x B,A-B也称为集合A和B的差集。,A-B也称为集合A和B的差集。,例如，a，b，c，Ba，b，则,-Bc,又如，a，b，c，d，Ba，b，e，f，则,-Bc，d,3.2 集合(jh)的运算,第二十一页，共44页。,设A，B，C为任意集合，则下列(xili)关系式成立：,（1）-BA-（AB）,（2）（B A）B,（3）A（BC）（AB）C,（4）-B A,3.2 集合(jh)的运算,第二十二页，共44页。,设U是全集，A是U的一个子集，称U-A为A关于全集,的补集，也叫做A的绝对(judu)补集，简称为补集。记作A。即,U-x|x且x,例如，Ux|x是计算机学院的全体学生，,Ax|x是计算机学院的全体女学生，,则,Ax|x是计算机学院的全体男学生,3.2 集合(jh)的运算,第二十三页，共44页。,集合的补运算有以下性质,（1）双重否定律：（A）A,（2）摩根律：U,（3）摩根律：U,（4）矛盾律：A（A）,（5）排中律：A（A）U,为了简单(jindn)，约定A（B）表示为AB，A（B）表示为,AB。,3.2 集合(jh)的运算,第二十四页，共44页。,定理设A、B是两个(lin)集合，则下列关系式成立：,（AB）AB,（AB）AB,这个定理称为德摩根定律。读者可以用文氏图验证。,定理设A、B、C是任意三个集合，则下列(xili)关系式成立：,A-BAB,A-BA-（AB）,定理可由差运算的定义直接得到。,3.2 集合(jh)的运算,第二十五页，共44页。,集合的补运算，其文氏图表示，阴影(ynyng)部分表示A。,3.2 集合(jh)的运算,第二十六页，共44页。,又如，a，b，c，d，Ba，b，e，f，则,定理设A、B、C是任意三个集合，则下列(xili)关系式成立：,第二十九页，共44页。,（3）零律：AUU,定理设A、B是两个(lin)集合，则下列关系式成立：,(A)，1，2，3，1，2，1，3，,集合A和集合B相等的充分必要条件是AB且BA。,第三十八页，共44页。,（4）集合的包含排斥原理,B是坐滑行铁道车的儿童的集合；,A（AB）A（AC）,A-B也称为集合A和B的差集。,有21人选修Java课程；,定义任意两个(lin)集合A、B的并，记作AB，它也是一个集,2，3，1，2，3,定义(dngy)设A、B是两个集合，由属于A而不属于B，或者属于B,不属于A的元素组成的集合，称作A和B的对称差，记作AB。即,AB(AB)-(AB),例如，A1，2，3，4，B1，3，5，7，9,那么 AB2，4，5，7，9,3.2 集合(jh)的运算,第二十七页，共44页。,集合的对称(duchn)差的文氏图表示,3.2 集合(jh)的运算,第二十八页，共44页。,由对称差的定义(dngy)易得下列性质：,（1）AA,（2）AA,（3）A,（4）ABBA,（5）（AB）CA（BC）,（6）AB(A-B)(B-A),3.集合(jh)的运算,第二十九页，共44页。,已知：ABAC，则BC。,证明(zhngmng)：ABAC,A（AB）A（AC）,（AA）B（AA）C,BC,BC,3.集合(jh)的运算,第三十页，共44页。,设A、B为有限(yuxin)集合，|A|、|B|为其基数，则,|AB|A|+|B|-|AB|,这个结论称作包含排斥原理。,定理 设A1，A2，An为有限(yuxin)集合，|A1|，|A2|，|An|为其基数，则,3.包含排斥(pich)原理,|A1,A2,An|=,|Ai|-,|Ai,Aj,|+,+(-1),n-1,|A1,A2,An|,i=1,n,1,ijn,第三十一页，共44页。,假设某班有20名学生，其中有10人英语成绩为优，有8人数学成绩为优，又知有6人英语和数学成绩都为优。问两门课,都不为优的学生有几名？,解 设英语成绩是优的学生组成的集合是A，数学成绩是优的学,生组成的集合是B，因此两门课成绩都是优的学生组成的集合是,AB。由题意(t y)可知,|A|10|B|8|AB|6,由包含排斥原理可得：|AB|A|+|B|-|AB|10+8-6=12,所以，两门课都不是优的学生数为：20-|AB|8。,3.包含(bohn)排斥原理,第三十二页，共44页。,例 对l00名大学生进行调查的结果是：34人爱好音乐，24人爱好美术，48人爱好舞蹈，14人既爱好音乐又爱好美术，13人既爱好美术又爱好舞蹈，15人既爱好音乐又爱好舞蹈，有25人这三种爱好都没有(mi yu)，问这三种爱好都有的大学生人数是多少?,解 设爱好音乐的大学生组成的集合是A，爱好美术的大学生组成的集合是B，爱好舞蹈的大学生组成的集合是C，,由题意可知：,|A|34|B|24|C|48,|AB|14|BC|13|AC|15,100-|ABC|25,3.包含(bohn)排斥原理,第三十三页，共44页。,3.包含排斥(pich)原理,由包含(bohn)排斥原理可知：,|ABC|A|+|B|+|C|-|AB|-|BC|-|AC|+|ABC|,100-2534+24+48-14-13-15+|ABC|,所以,|ABC|11,这三种爱好都有的大学生人数是11。,第三十四页，共44页。,例 某班有学生(xu sheng)60人，其中有38人选修Visual C+课程，有l6人选修Visual Basic课程。有21人选修Java课程；有3人这三门课程都选修，有2人这三门课程都不选修，问仅选修两门课程的学生(xu sheng)人数是多少？,解 设选修Visual C+课程的学生(xu sheng)为集合A；选修Visual Basic课程的学生(xu sheng)为集合B；选修Java课程的学生(xu sheng)