资源描述
单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,单击此处编辑母版标题样式,Page,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第一章 二次函数,1.2,二次函数的图象与性质,第一章 二次函数 1.2 二次函数的图象与性质,学习目标,1.,进一步熟悉作函数图象的方法与步骤，会画二次函数图象,.,2.,逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握二次函数的主要性质,.,3.,能够根据函数图象判断该函数的一些性质，如：根据二次函数图象判断其开口方向，对称轴以及其增减性等,.,学习目标1.进一步熟悉作函数图象的方法与步骤，会画二次函数图,情景导入,正比例函数，反比例函数，一次函数的图象是怎么样的？,二次函数的图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图象？,O,画函数图象的步骤（描点法）：列表、描点、连线,.,情景导入正比例函数，反比例函数，一次函数的图象是怎么样的？二,思考,1,：观察右图，点,A,与点,A,，点,B,与点,B,，,，它们有什么关系？取更多的点试试，你能得出函数,y,=,x,2,的图象关于,y,轴对称吗？,画二次函数,y,=,x,2,的图象,1.,列表,x,-3,-2,-1,0,1,2,3,y,9,4,1,9,0,1,4,2.,描点,1,2,3,4,5,x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,y,o,-1,-2,-3,-4,-5,A,A,B,B,y,=,x,2,3.,连线,思考,2,：观察右图，,y,轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标有什么变化？,y,轴右边的所有点都具有纵坐标随着横坐标的增大而增大的特点吗？,可以证明,y,=,x,2,的图象关于,y,轴对称；图象在,y,轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为,“,右升,”.,思考,思考1：观察右图，点A与点A，点B与点B，它们有,观察发现,1,我们已经正确画出了,y,=,x,2,的图象，因此，现在可以从图象（见图）看出,y,=,x,2,的其他一些性质（除了上面已经知道的关于,y,轴对称和“右升”外）：,对称轴与图象的交点是,_,；,图象的开口向,_,；,图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而,_,，简称为“左降”；,当,x,=_,时，函数值最,_,O,(0,0),上,减小,0,小,观察发现 1 我们已经正确画出了y=x2的图象，因此，现在可,类似地，当,a,0,时，,y,=,ax,2,的图象也具有上述性质，于是我们在画,y,=,ax,2,(,a,0),的图象时，可以先画出图象在,y,轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在,y,轴左边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因为我们知道了图象的性质）,类似地，当a0时，y=ax2的图象也具有上述性质，于是我们,【,例,1,】画二次函数 的图象,解：,因为二次函数的图像关于,y,轴对称，因此列表时，自变量,x,应该从原点的横坐标0开始取值,.,x,0,1,2,3,.,.,0,0.5,2,4.5,【例1】画二次函数 的图象解：因为二次函数的图像关于,描点：在平面直角坐标系内，以,x,取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如右图,.,连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和,y,轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在,y,轴左边的部分（把,y,轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了 的图象如右图,.,x,y,o,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,5,A,A,B,B,描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为,1,.,抛物线,y,=6,x,2,的顶点坐标是,，对称轴是,，在对称轴,侧，,y,随着,x,的增大而增大；在对称轴,侧，,y,随着,x,的增大而减小，当,x,=,时，函数,y,的值最小，最小值是,，抛物线,y,=6,x,2,在,x,轴的,方(除顶点外).,（,0,0,）,y,轴,右,左,0,0,上,练习,1.抛物线y=6x2的顶点坐标是,根据右图可以看出：,共同点：开口方向一致，均向上；对称轴都是直线,x,=0,；顶点坐标都是（,0,0,）；当,x,0,时，,y,都随着,x,增大而增大，当,x,0,时，,y,都随着,x,增大而减小,.,不同点：图象的开口大小不同，,y,=2,x,2,图象开口较小,.,2,.,在同一坐标系中画出二次函数,y,=2,x,2,及,的图象并比较它们的共同点和不同点,.,解：,列表,描点：,先描出对称轴左侧的点，再利用对称性描出对称轴右侧的点,.,连线,x,0,0.5,1,2,4,y=2x,2,0,0.5,2,8,0,0.5,2,8,x,y,o,8,6,4,2,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,y,=2,x,2,根据右图可以看出：2.在同一坐标系中画出二次函数y=2x2及,我们已经会画 的图象，能不能从它得出函数 的图像呢？,-2,O,y,2,4,-4,P,Q,x,2,4,-2,-4,1.,在 的图象上任取一点,P,（），它关于,x,轴的对称点,Q,的坐标是（）,.,2.,从点,Q,的坐标可以看出，点,Q,在 的图象上,.,所以 的图象与 的图象关于,x,轴对称,.,3.,把 的图象沿着,x,轴翻折并将图象,“,复制,”,出来，就可以得到 的图象,.,练习,我们已经会画 的图象，能不能从它得出函数,观察发现,2,我们已经正确画出了 的图象，因此，现在可以从图象（见图）看出,的其他一些性质：,对称轴是,轴，对称轴与图象的交点是,_,；,图象的开口向,_,；,图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而,_,，简称为“右降”；,图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而,_,，简称为“左升”；,当,x,=_,时，函数值最,_,O,(0,0),下,减小,0,大,y,增大,观察发现 2 我们已经正确画出了 的图象,x,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,y=x,2,4,2.25,1,0.25,0,0.25,1,2.25,4,y=-x,2,-4,-2.25,-1,-0.25,0,-0.25,-1,-2.25,-4,【,例,2,】画二次函数,y,=,x,2,和,y,=-,x,2,的图象,描点法,列表,描点,连线,注意：列表时自变量,取值要均匀和对称,.,x-2-1.5-1-0.50 0.5 1 1.5 2y=,解析式,y=ax,2,y=-ax,2,顶点坐标,（,0,0,）,对称轴,y,轴,位置,x,轴上方,x,轴下方,开口方向,向上,向下,y=ax,2,与,y=-ax,2,关于,x,轴对称,推论,增减性,当,x,0,时，,y,随,x,增大而增大；当,x,0,时,y,随,x,增大而减小,.,当,x,0,时，,y,随,x,增大而减小；当,x,0,时,y,随,x,增大而增大,.,极值,当,x=0,时，,y,min,=0,当,x=0,时，,y,max,=0,解析式y=ax2y=-ax2顶点坐标（0,0）对称轴y轴位置,3.,抛物线,y,=,-,6,x,2,的顶点坐标是,，对称轴是,，在对称轴,侧，,y,随着,x,的增大而增大；在对称轴,侧，,y,随着,x,的增大而减小，,当,x,=,时，函数,y,的值最大，最小值是,，抛物线,y,=,-,6,x,2,在,x,轴的,方(除顶点外).,（,0,0,）,y,轴,左,右,0,0,下,练习,3.抛物线y=-6x2的顶点坐标是,4.,在同一坐标系中画出二次函数,y,=-2,x,2,及,的图象并比较它们的共同点和不同点,.,解：,列表,描点,连线,x,0,0.5,1,2,4,y=-2x,2,0,-0.5,-2,-8,0,-0.5,-2,-8,y,x,o,4,2,-2,-4,-2,-4,-6,-8,y,=-2,x,2,根据右图可以看出：,共同点：开口方向一致，均向上；对称轴都是直线,x,=0,；顶点坐标都是（,0,0,）；当,x,0,时，,y,都随着,x,增大而减小，当,x,0,时，,y,都随着,x,增大而增大,.,不同点：图象的开口大小不同，,y,=2,x,2,图象开口较小,.,根据练习,2,、,4,可以看出丨,a,丨大的，开口较小,.,4.在同一坐标系中画出二次函数y=-2x2及解：列表x00.,如图，在铅球比赛中，铅球沿着一条曲线运动，它与二次函数,y,=,ax,2,（,a,0,）的图象相像吗？,联系实际,x,O,y,2,4,2,4,2,4,如图，在铅球比赛中，铅球沿着一条曲线运动，它,以铅球在空中经过,的路线的最高点为原点建立直,角坐标系，,x,轴的正方向水平向右，,y,轴的正方向竖直向上，则可以看出铅球在,空中经过的路程是形如,y,=,ax,2,（,a,0,）的图象的一段,.,由此受到启发，我们把二次函数,y,=,ax,2,的图象这样的曲线叫做抛物线，简称抛物线,y,=,ax,2,.,意大利著名科学家伽利略将炮弹发射,经过的路线命名为,“,抛物线,”.,把二次函数 的图象,E,向右平移,1,个单位，得到图形,F,，如下图所示：,抛物线,F,是哪个函数的图象呢？,E,F,x,y,o,1,2,3,4,1,2,3,4,5,1,2,3,O,思考,把二次函数 的图象E向右平移1个单位，,由于平移不改变图形的形状和大小，因此在向左平移,1,个单位后：,原像,像,抛物线,E,：,.,图形,F,也是抛物线,.,E,的顶点,O,（,0,0,）,F,的顶点,O,（,1,0,）,E,的对称轴是直线,l,（与,y,轴重合）,F,的对称轴是直线,l,（过点,O,且与,y,轴平行,）,E,开口向上,F,开口向上,由于平移不改变图形的形状和大小，因此在向左平移1个单位后：原,在抛物线 上任取一点,，那么在向右平移一个单位后，点,P,的像点,Q,的坐标是什么？,把点,P,的横坐标,a,加,1,，纵坐标,不变，就得到像点,Q,的坐标为,在抛物线 上任取一点把点P的横坐标a,记,b,=,a,+1,，则,a,=,b,-1,，从而点,Q,的坐标为,这表明：点,Q,在函数 的图象上,.,由此得出，抛物线,F,是函数 的图象,.,函数,的图象是抛物线,F,，它的开口向上，顶点是,O,（,1,0,），对称轴是过点,O,（,1,0,）且平行于,y,轴的直线,l,.,直线,l,是由横坐标为,1,的所有点组合成的，我们把直线,l,记作直线,x,=1.,记b=a+1，则a=b-1，从而点Q的坐标为,观察发现,3,二次函数,y,=,a,(,x,-,h,),2,的图象是抛物线，它的对称轴是直线 ，它的顶点坐标是,.,当,a,0,时，抛物线的开口向 ；当,a,0,时，抛物线的开口向,.,x,=,h,(,h,0),上,下,观察发现 3二次函数y=a(x-h)2的图象是抛物线，它的对,【,例,3,】画函数,y,=(,x,-2),2,的图象,解：,抛物线,y,=(,x,-2),2,的对称轴是直线,x,=2,，,顶点坐标是,(2,0).,列表：自变量,x,从顶点的横坐标,2,开始取值,.,x,2,3,4,5,y=(x-2),2,0,1,4,9,x,y,o,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,6,2,8,4,描点和连线：,先描对称轴右半部分的点，利用对称性描左半部分的点，用平滑的曲线进行连线，即可得到,y,=(,x,-2),2,的图象,.,【例3】画函数y=(x-2)2的图象解：抛物线y=(x-2,5.,说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向,.,对称轴,x,=5,顶点坐标（,5,，,0,）,开口向上,对称轴,x,=,-2,顶点坐标（,-2,，,0,）,开口向下,练习,5.说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.对称,6.,画二次函数,y=,-(,x,-1),2,的图象,.,x,1,1.5,2,3,3.5,y=-(x-1),2,0,0.25,1,4,6.25,x,O,y,-2,-4,2,4,-2,-4,6.画二次函数 y=-(x-1)2的图象
展开阅读全文