二项式定理杨辉三角习题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,探究：研究斜行规律：,第一条斜线上：,第二条斜线上：,第三条斜线上：,第四条斜线上：,猜想：,在杨辉三角中，第,m,条斜线（从右上到左下）上前,n,个数字的和，等于,1+1+1+1+1+1=,1+2+3+4+5=,1+3+6+10=,1+4+10=,第,m+1,条斜线上的第,n,个数,.,1,1,1,1,（,第,1,条斜线,）,(nr),1,1,1,1,（,第,1,条斜线,）,（,第,3,条斜线,）,（,第,2,条斜线,）,结论：,杨辉三角中，第,m,条斜线,(,从右上到左下,),上前,n,个数字的和，等于第,m+1,条斜线上第,n,个数,即,即,根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第,m,条斜线,(,从左上到右下,),上前,n,个数字的和，等于第,m+1,条斜线上第,n,个数。,3,5,8,第,0,行,4,10,13,1,2,6,7,9,11,12,14,15,1,）杨辉三角中的第,1,，,3,，,7,，,15,，,行，即第行的各个数字为奇数？,2,n,-1,除两端的,1,之外都是偶数,.,则第,2,n,行的数字有什么特点？,探究、横行规律,1,2,5,第,5,行,1 5 10,10,5 1,第,6,行,1 6 15 20 15 6 1,第,7,行,1 7 21 35,35,21 7 1,第,1,行,1 1,第,0,行,1,第,2,行,1 2 1,第,3,行,1 3 3 1,第,4,行,1 4 6 4 1,1,3,8,13,21,34,想一想：如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？,第,8,行,1 8 28 56 70 56 28 8 1,从第三个数起，任一数都等于前两个数的和,;,这就是著名的,斐波那契数列,。,探究,?,?,?,?,?,?,?,?,?,杨辉三角与“纵横路线图”,“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从,A,处走到,B,处,(,只能由北到南，由西向东,),，那么有多少种不同的走法？,A,B,由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系,.,选做题,(,课后探讨）,在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球,(,黑色,),向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？,“概率三角形”,照这样计算第,n+1,层有,n+1,个通道，弹子通过各通道的概率将是？,与杨辉三角有何,关系？,小球从每一通道通过的可能情况是：任何一层的左右两边的通道都只有一个可能情形，而其他任一个通道的可能情形，等于它左右肩上两个通道的可能情形相加。,于是，钢珠通过每一层每个通道的可能情形是：,第一层,1,第二层,1,1,第三层,1 2,1,第四层,1 3 3,1,第五层,1 4 6 4 1,五、作业：,7,、,8,1,，,1,，,2,，,3,，,5,，,8,，,13,，,21,，,34,，此数列,a,n,满足,a,1,=1,a,2,=1,且,a,n,=a,n-1,+a,n-2,(n3),这就是著名的,斐波那契数列,四、例题选讲：,例,1,证明：在,(a,b),n,展开式中,奇数项的二项,式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,.,证明：在展开式 中,令,a=1,，,b=,1,得,例,2,求证：,证明：,倒序相加法,求,(,x,2),10,（,x,2,1,）,展开式中含,x,10,项的系数为,.(1998,年全国高考题,),179,能力训练,4:,在,(,x,2,+3,x,+2),5,的展开式中,x,的系数为多少？,240,能力训练,4:(,x,2,+3,x,+2),5,展开式中,x,的系数为,_.,方法,1,(,x,2,+3,x,+2),5,=(,x,2,+2)+3,x,5,方法,2,(,x,2,+3,x,+2),5,=,x,(,x,+3)+2,5,方法,3,(,x,2,+3,x,+2),5,=,x,2,+(3,x,+2),5,方法,4,(,x,2,+3,x,+2),5,=(,x,+1),5,(,x,+2),5,，,.,妙,!,1.,求证：除以,9,的余,数为,7,；,2.,求多项式：,的展开式中 的系数,.,3.,(,a,+2,b,+3,c,),7,的展开式中,a,2,b,3,c,2,项的系数是多少？,4.,已知,(1-2,x,),7,=,a,0,+,a,1,x,+,a,2,x,2,+,+,a,7,x,7,，则,a,1,+,a,2,+,+,a,7,的值,是,.,4.,0.998,5,精确到,0.001,的近似值为,.,0.990,(0.998),5,=(1-0.002),5,1-0.002,故应填,0.990.,5.,若,(2,x,+),4,=,a,0,+,a,1,x,+,a,2,x,2,+,a,3,x,3,+,a,4,x,4,则,:,(1),a,0,=,;,(2),a,0,+,a,1,+,a,2,+,a,3,+,a,4,=,;,(3),(,a,0,+,a,2,+,a,4,),2,-(,a,1,+,a,3,),2,=,.,1,(2+),4,9,1.,二项式定理的应用常见的问题有：求展开式的某一项或适合某种条件的项；求展开式各项系数的和；取二项展开式的前几项进行近似计算；证明组合数等式；整数与整式的整除问题,;,证明不等式,.,因此必须牢固掌握二项展开式及其通项公式的结构与特征、二项式系数的性质等基本理论,.,2.,关注二项式定理问题“四大热点、六条规律”,.,(1),四大热点是：通项运用型；系数配对型；系数和差型；综合应用型,.,(2),六条规律是：常规问题通项分析法；系数配对型问题分配法；系数和差型问题赋值法；近似问题截项法；整除（或余数）问题展开法；最值问题不等式法,.,例,4,、,若 展开式中前三项系数成等差,数列，求,（,1,）展开式中含,x,的一次幂的项；,（,2,）,展开式中所有,x,的有理项；,（,3,）展开式中系数最大的项。,十三,.,合理分类与分步策略,例,1,3.,在一次演唱会上共,10,名演员,其中,8,人能,能唱歌,5,人会跳舞,现要演出一个,2,人,唱歌,2,人伴舞的节目,有多少选派方法,?,解：,10,演员中有,5,人只会唱歌，,2,人只会跳舞,3,人为全能演员。,以只会唱歌的,5,人是否,选上唱歌人员为标准进行研究,.,只会唱,的,5,人中没有人选上唱歌人员共有,_,种,只会唱的,5,人中只有,1,人选上唱歌人,员,_,种,只会唱的,5,人中只有,2,人,选上唱歌人员有,_,种，由分类计数,原理共有,_,种。,+,+,本题还有如下分类标准：,*,以,3,个全能演员是否选上唱歌人员为标准,*,以,3,个全能演员是否选上跳舞人员为标准,*,以只会跳舞的,2,人是否选上跳舞人员为标准,都可经得到正确结果,解含有约束条件的排列组合问题，可按元素,的性质进行分类，按事件发生的连续过程分,步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不,漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的,始终。,九,.,元素相同问题隔板策略,例,9.,有,10,个运动员名额，在分给,7,个班，每,班至少一个,有多少种分配方案？,解：因为,10,个名额没有差别，把它们排成,一排。相邻名额之间形成个空隙。,在个空档中选个位置插个隔板，,可把名额分成份，对应地分给个,班级，每一种插板方法对应一种分法,共有,_,种分法。,一班,二班,三班,四班,五班,六班,七班,将,n,个相同的元素分成,m,份（,n,，,m,为正整数）,每份至少一个元素,可以用,m-1,块隔板，插入,n,个元素排成一排的,n-1,个空隙中，所有分法数为,十二,.,构造模型策略,例,1,2.,马路上有编号为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,的,九只路灯,现要关掉其中的,3,盏,但不能关,掉相邻的,2,盏或,3,盏,也不能关掉两端的,2,盏,求满足条件的关灯方法有多少种？,解：把此问题当作一个排队模型在,6,盏,亮灯的,5,个空隙中插入,3,个不亮的灯,有,_,种,一些不易理解的排列组合题如果能转化为,非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队,模型，装盒模型等，可使问题直观解决,练习题,某排共有,10,个座位，若,4,人就坐，每人左右,两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？,120,例,18,、某城市的街区由12个全等的矩形区,组成其中实线表示马路，从,A,走到,B,的最短,路径有多少种？,B,A,十八.化归策略,